ГЛАВА X. ДЕФОРМАЦИИ ПРИ ИЗГИБЕ

§ 116. Дифференциальное уравнение изогнутой оси.

Будем рассматривать изгиб в главной плоскости, которую примем за плоскость . Вследствие изгиба каждое сечение повернется около оси х на угол относительно соседнего сечения. Так как сначала сечения были параллельны, то является углом смежности для искривленной оси стержня и есть ее кривизна:

По формуле (103.3)

Искривленная ось изогнутой балки представляет некоторую кривую в плоскости чтобы задать ее, нужно задать прогиб в направлении оси у как функцию координаты сечения . Формула для кривизны будет следующей:

(штрихи обозначают производные по z).

Осталось выбрать знак в формуле (116.2). Если изгибающий момент положителен, как показано на рис. 171, то по формуле (116.1) кривизна оказывается отрицательной, а вторая производная функции, график которой обращен вогнутостью в сторону положительной оси координат, положительна. Поэтому в формуле (116.2) нужно удержать знак минус. Получим:

(116.3)

Рис. 171

Это и есть точное уравнение изогнутой оси стержня. Его обычно заменяют приближенным уравнением, ограничиваясь теми задачами, в которых прогиб мал по сравнению с длиной балки. Тангенс угла наклона касательной к упругой линии, равный при этом также мал, и квадратом его можно пренебречь по сравнению с единицей. Приближенное уравнение пишется так:

(116.4)

Иногда удобно считать заданным не изгибающий момент а нагрузку . Вспомним, что по формулам § 105 , следовательно, . Продифференцировав (116.4) два раза, получим: