§ 52. Безмоментные оболочки вращении.

Общий случай плоского напряженного состояния почти точно реализуется в тонкостенных оболочках-куполах, резервуарах и т. д.

Можно показать, что если оболочка выпукла, то есть полная или гауссова кривизна ее во всех точках положительна, то изгиб происходит только вблизи мест закрепления или там, где резко меняется толщина оболочки. В большей части оболочки мы можем считать напряжения равномерно распределенными по толщине. Общая задача о равновесии тонкостенной оболочки является предметом теории упругости, даже в пренебрежении изгибом она довольно сложна. Здесь мы рассмотрим наиболее важный для практики случай, когда оболочка имеет форму поверхности вращения и нагрузка симметрична относительно оси. Введя обозначение для толщины оболочки, будем искать напряжения в нормальных сечениях оболочки. Вследствие симметрии направления меридианов и параллелей будут в каждой точке направлениями главных осей. Меридиональное сечение на рис. 57, а) есть сечение

Рис. 57.

оболочки плоскостью, проходящей через ось симметрии. Нормальное сечение, проходящее через параллель, мы будем называть кольцевым сечением на том же рисунке). Это — сечение оболочки конической поверхностью с вершиной на оси симметрии и образующими, которые являются нормалями к поверхности оболочки вдоль параллели и составляют угол с осью z. Длина образующей конуса от вершины до поверхности оболочки (внешней или внутренней — безразлично, так как толщина мала) есть радиус кривизны нормального сечения, - то есть радиус кривизны сечения оболочки плоскостью, проходящей через касательную к параллели и нормаль к поверхности. Это один из главных радиусов кривизны поверхности оболочки. Обозначим его . Из чертежа видно, что

Здесь — расстояние от рассматриваемой точки поверхности до оси вращения. Обозначим также через радиус кривизны меридиана. Вследствие симметрии нагрузки в меридиональном сечении действует только нормальное напряжение ; будем называть его кольцевым. В кольцевом сечении действует меридиональное напряжение . Рассмотрим элемент , вырезанный двумя бесконечно близкими меридиональными и двумя кольцевыми сечениями (рис. 57, б). На элемент действуют напряжения на гранях напряжения на гранях кроме того, внешние силы, нормальная составляющая которых, отнесенная к единице площади, есть .

Составим уравнение равновесия в проекциях на нормаль, проведенную в середине элемента. На грани площадь которой есть действует напряжение таким образом, сила, действующая по указанной грани, есть

Эта сила составляет с нормалью угол, равный i поэтому проекция ее на нормаль равна

Сила, действующая на грань дает на нормаль в точности такую же проекцию. Рассматривая совершенно аналогичные силы, действующие на грани найдем, что проекция каждой из них на нормаль равиа

Наконец, составляющая внешней силы, направленная по нормали, равна

Находя сумму проекций на нормаль всех действующих на элемент сил и приравнивая эту сумму нулю, получим:

Заметим, что

Окончательный вид уравнения равновесия будет следующим:

При выводе этого уравнения мы пренебрегли тем, что площади граней неодинаковы, а также тем, что напряжения на этих гранях, вообще говоря, различны. Это не нарушает правильности уравнения (52.1), так как отброшенные члены имеют более высокий порядок малости.

Учитывая эти члены, можно составить уравнения равновесия в проекциях на оси, лежащие в касательной плоскости к оболочке. В отличие от уравнения (52.1), они будут уже не конечными, а дифференциальными. Мы не будем вставать на этот путь, обычный для теории упругости.

Для нахождения к уравнению (52.1) нужно добавить еще одно уравнение. Мы получим его, рассматривая равновесие части оболочки, отрезанной по конической поверхности кольцевого сечения. Площадь конической поверхности сечения есть проектируя все силы на ось симметрии получим:

здесь Z — сумма проекций на ось внешних сил, приложенных к отрезанной части оболочки.

Рассмотрим два простейших примера приложения этих уравнений:

а) Сферическая оболочка под действием внутреннего давления. Вследствие симметрии . Так как то из уравнения (52.1) получим:

б) Цилиндрическая оболочка под действием внутреннего давления. В этом случае Z есть сила, действующая на дно цилиндра:

По уравнению (52.2)

Радиус кривизны меридиана тогда как . Формула (52.1) сразу дает кольцевое напряжение:

Желая рассчитать на прочность цилиндрическую оболочку, выполненную из пластической стали, мы примем:

Если принять за основу условие пластичности Треска, то расчет оболочки производится по следующей формуле:

Если принять условие Мизеса, то получим:

Толщина стенки, рассчитанная по условию Мизеса, при равных запасах прочности оказывается на 14% меньше, чем по условию Треска — Сен-Венана.