ГЛАВА XI. ИЗГИБ И КРУЧЕНИЕ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ
§ 126. Нормальные и касательные напряжения при изгибе.
Соображения об относительных порядках величин нормальных и касательных напряжений при изгибе, приведенные в § 101, к тонкостенным стержням неприменимы. Касательные напряжения, возникающие вследствие изгиба и кручения имеют в такого рода стержнях тот же порядок величины, что и нормальные напряжения, и сбрасывать их со счета нельзя. Касательными напряжениями изгиба мы будем называть напряжения, распределяющиеся приблизительно равномерно по толщине стенки профиля и не связанные с закручиванием стержня.
Очевидно, например, что кручения не будет, если изгибать симметричный стержень, хотя бы двутавр или швеллер, силами, действующими в плоскости его симметрии. Весьма большая жесткость на кручение замкнутых тонкостенных профилей делает для них вопрос об условиях отсутствия кручения второстепенным. В тех же случаях, когда тонкостенный стержень открытого профиля изгибается в плоскости, даже являющейся главной плоскостью, но не плоскостью симметрии, необходимо принять особые меры для предотвращения кручения. В этом параграфе мы предполагаем, что в силу тех или иных обстоятельств кручение отсутствует, значит, никаких иных касательных напряжений, кроме как от изгиба, в стержне нет.
Рис. 187.
Сохранение плоских сечений при наличии касательных напряжений в сечении, очевидно, невозможно. Действительно, касательные напряжения вызывают сдвиг, то есть изменение первоначально прямого угла. Таким образом, сечение не может оставаться перпендикулярным изогнутой оси стержня, а так как напряжения в сечении распределяются неравномерно, оно не может оставаться плоским (рис. 187). Однако если стержень загружен сосредоточенными силами, то на каждом участке перерезывающая сила постоянна, следовательно, во всех сечениях этого участка распределение касательных напряжений одинаково.
Одинаковы и искажения поперечных сечений. Поэтому длина элемента 
между двумя сечениями после деформации равн длине того же элемента, подсчитанной по гипотезе плоских сечений, то есть 
. Отсюда следует, что для балки, несущей сосредокн ченные силы, закон распределения нормальных напряжений будет тем же, что по гипотезе плоских сечений:
Более точные подсчеты показывают, что влияние искажений поперечных сечений вследствие касательных напряжений изгиба на распределение нормальных напряжений в более общих случаях нагрузки совершенно незначительно. Поэтому формула (126.1) является общей.
Для нахождения касательных напряжений будем считать, что они распределяются по толщине стенки равномерно (рис. 188).
Рис. 188.
Рис. 189.
Положение точки на средней поверхности стержня будем определять двумя координатами: х — расстоянием от фиксированного сечения по образующей и s — дугой, отсчитываемой от какого-либо конца средней линии открытого контура сечения. Всю длину дуги средней линии контура сечения обозначим h, толщину стержня в будем считать функцией s, но не z. Вырежем элемент средней поверхности двумя бесконечно близкими образующими и двумя поперечными сечениями. Силы, действующие на грани объемного элемента, образованного нормальными сечениями, проходящими через стороны элемента средней поверхности, показаны на рис. 189. Уравнение равновесия элемента примет следующий вид:
Заметим, что вследствие закона парности касательных напряжений 
при 
. Интегрируя (126.2), найдем:
(126.3)
Но по формуле (126.1), учитывая независимость 
от z, получим
Вспомнив дифференциальные соотношения между изгибающим» моментами и перерезывающими силами, напишем последнее равенство так:
Подставив это выражение в формулу (126.3), получим следующую формулу для закона распределения касательных напряжений:
(126.4)
Интегралы в формуле (126.4) представляют собою статические моменты части площади сечения, заштрихованной на рис. 182.
