§ 45. Деформация элемента объема в общем случае.

В самом общем случае, выделяя элементарный параллелепипед с ребрами, направленными по координатным осям, мы можем описать его деформацию следующим образом. Представим себе сначала, что ребра элемента получают относительные удлинения (или укорочения). Обозначим их соответственно с направлениями ребер После этого происходят сдвиги, то есть изменение первоначально прямых двугранных углов между каждой парой координатных плоскостей. Изменение угла между плоскостью и плоскостью мы обозначим , аналогично определяются еще два сдвига, . В предыдущем параграфе было доказано, что чистый сдвиг не изменяет длин ребер, поэтому сдвиги не влияют на удлинение . Следовательно, относительное изменение объема будет равно

Совокупность шести величин: - образует тензор деформации. Его записывают обычно следующим образом:

Порядок индексов в обозначении сдвигов безразличен, поэтому Компонентами тензора являются не сами сдвиги, а половины сдвигов, при этом условии теория деформированного состояния оказывается совершенно подобной теории напряженного состояния. Действительно, в плоском напряженном состоянии наибольшее касательное напряжение на площадке, наклоненной под углом к главным осям, равно , тогда как сдвиг элемента, повернутого по отношению к главным направлениям на 45°, равен (формула ). Деформации от нормальных и от касательных напряжений определяются независимо, удлинения находятся по формулам (42.1) так, как если бы были главными напряжениями, сдвиги вычисляются по формуле (44.1). Таким образом, уравнения закона Гука для произвольных осей имеют следующий вид: