§ 169. Предельное равновесие пластинок.

Расчет пластинок в упругой стадии их работы составляет предмет прикладной теории упругости и выходит за рамки настоящего курса. Нахождение же верхней оценки несущей способности пластинки из идеально-пластического материала во многих случаях осуществляется достаточно элементарными средствами. Соответствующая теория была первоначально построена применительно к расчету бетонных и железобетонных плит и в настоящее время находит применение главным образом для железобетонных конструкций. Бетонная плита разрушается хрупко, с образованием трещин, таким образом, казалось бы, соображения, развитые для идеально-пластического материала, в этом случае неприменимы. На самом деле при формулировке основных принципов предельного равновесия и при доказательстве соответствующих теорем, по существу, никакие соображения физического характера не привлекались, и предельное состояние пластичности может с тем же основанием трактоваться как предельное состояние разрушения. Под кинематически допустимым состоянием можно понимать то мгновенное распределение скоростей, которое осуществляется в самый момент разрушения, а что будет делаться с материалом впоследствии, то есть будет ли он течь неограниченно или же разлетитйя на отдельные куски, это не должно нас интересовать.

Рассмотрим полигональную пластинку, свободно опертую по контуру, и нагруженную сосредоточенной силой Р в точке С (рис. 252).

Рис. 252.

Одной из возможных кинематических схем разрушения (или пластической деформации) такой пластинки будет следующая. По линиям, соединяющим точку приложения силы с вершинами контура, происходят изломы, плоская срединная поверхность переходит в поверхность пирамиды, ребра которой образованы упомянутыми линиями, а грани остаются плоскими. Обозначим прогиб в точке приложения силы , длины ребер излома двугранные углы между гранями, примыкающими к соответствующим ребрам, . Изгибающий момент, приходящийся на единицу длины линии излома, есть и уравнение работ приводит к следующему равенству:

Чтобы найти двугранный угол проведем через точку приложения силы С прямую АВ, перпендикулярную линии (рис. 253), и продолжим примыкающие к вершине стороны контура пластинки до пересечения с прямой АВ. Левая часть поворачивается около прямой ACS, правая около прямой BCS, прямая АСВ изламывается, как показано на том же чертеже во второй проекции; на этой проекции виден угол . Он равен . Таким образом,

Рис. 253.

Внеся в уравнение работ, получим:

(169.1)

Рассмотрим несколько простых примеров приложения формулы (169.1).

а) Пластинка прямоугольного сечения, нагруженная в центре (рис. 254). В этом случае

по формуле (169.1)

б) Пластинка в форме правильного голь ника, нагруженная в центре (рис. 255). При этом

Предельная нагрузка дается формулой

в) Круглая пластинка, опертая по контуру. Круглую пластинку можно рассматривать как предельный случай пластинкн в форме правильного многоугольника при числе сторон, стремящемся к бесконечности.

Рис. 254.

Рис. 255.

При таком предельном переходе предыдущая формула дает:

Поверхность изогнутой пластинки в предельном состоянии представляет собою конус. Найденное решение является точным; можно показать, что оно не только кинематически, но и статически допустимо.

Если пластинка несет равномерно распределенную нагрузку, то при расчете можно поступать точно таким же способом, только для определенной нагрузки нужно интенсивность нагрузки множить на объем пирамиды. Пирамидальная форма разрушения при этом не всегда соответствует минимальной нагрузке.

Для пластинки, защемленной по контуру, применяя ту же схему разрушения, мы должны допустить, что изломы образуются не только по линиям, соединяющим точку С с вершинами, но также вдоль заделанных сторон. Соответствующий угол для стороны равен (рис. 256), работа момента на каждую сторону выражается так: .

Рис. 256.

Внося в уравнение работ, мы найдем, что в правой части этого уравнения появится еще раз точно такое же выражение, которое было раньше, и уравнение примет следующий вид:

(169.2)

Для круглой пластинки, защемленной по контуру, получится:

(169.3)

Можно показать, что для многоугольника сумма всегда больше, чем , поэтому нагрузка, вычисленная для круглой пластинки по формуле (169.3), оказывается меньше, чем вычисленная для полигональной пластинки по формуле (169.2). Отсюда следует, что пирамидальная схема разрушения для защемленной по контуру пластинки непригодна, у такой пластинки под действием сосредоточенной силы будет выламываться круг, переходящий в коническую поверхность (рис. 257). Радиус этого круга неопределенен, так как предельная нагрузка не зависит от радиуса.

Рис. 257.