§ 29. Напряжения при ударе.

Понятие об энергии упругой и пластической деформации оказывается полезным при решении вопроса о напряжениях и деформациях при ударе. В теоретической механике соударение предполагается мгновенным, вследствие чего силы, возникающие при соударении абсолютно твердых тел, бесконечно велики, поэтому в рассмотрение вводятся лишь энергии и импульсы. Если хотя бы одно из тел упруго, то продолжительность удара всегда конечна и величина силы может быть определена. Задача о соударении упругих тел в точной постановке представляет значительные трудности ввиду волнового характера распространения деформации в упругом теле.

Здесь мы дадим приближенное решение вопроса о растягивающем или сжимающем ударе по стержню тела большой массы, которое мы будем условно считать абсолютно твердым.

Если масса стержня мала по сравнению с массой ударяющего тела, то можно считать первую вообще отсутствующей, а при отсутствии массы деформации в теле распространялись бы мгновенно. Основная гипотеза приближенной теории удара состоит как раз в том, что деформация предполагается возникающей мгновенно во всех сечениях стержня, тогда как на самом деле деформация распространяется от конца, на котором происходит удар, со скоростью звука (для стали около 5000 м/сек, как будет показано в § 30). Высказанная гипотеза означает практически, что большая масса ударяется о стержень со скоростью весьма малой по сравнению со скоростью звука и продолжительность соударения значительно больше времени, необходимого для прохождения упругой волны по стержню.

Рис. 36.

Предположим, что груз массы М, движущийся со скоростью ударяет о стержень и деформирует его (рис. 36). В течение процесса деформации в каждый момент сумма кинетической и потенциальной энергии системы груз — стержень равна той кинетической энергии, которой обладал груз до удара:

По мере роста деформации скорость груза убывает и становится на мгновение равной нулю в тот момент, когда деформация максимальна. При этом и мы имеем:

Пользуясь формулой (28.4), получим:

Если груз веса Q падает с высоты А (рис. 36), то

и

Положим:

Здесь — деформация от груза Q, приложенного статически.

Тогда

Если груз Q весьма велик и высота А невелика, мы уже не имеем права пренебрегать той дополнительной работой, которую производит груз Q на перемещении . Когда уравнение работ будет следующим:

Отсюда получаем квадратное уравнение:

Решение его:

Мы выбрали знак плюс перед радикалом, чтобы получить наибольшую деформацию. Второе решение, со знаком минус, приобретает реальный смысл тогда, когда груз остается после удара связанным со стержнем и совершает колебания около состояния статического равновесия. В этом случае решение со знаком минус отвечает верхнему положению колеблющегося груза. На самом деле при движении вверх груз отрывается от стержня раньше, чем найденное аналитически положение будет достигнуто.

Важный частный случай формулы (29.4) — это случай внезапного приложения груза, когда . Тогда

Наибольшие силы, действующие на систему во время удара и складывающиеся из действующих сил и сил инерции, пропорциональны перемещениям. Поэтому при расчете на ударную нагрузку напряжения, полученные при статическом расчете, следует умножить на динамический коэффициент, равный отношению . Отсюда следует, в частности, что при внезапном приложении тяжелого груза максимальные напряжения вдвое больше, чем статические напряжения.

В заключение заметим, что формулы, выведенные для продольного удара по стержню, сохраняют тот же вид для любой упругой системы, лишь бы перемещение было пропорционально действующей силе.