§ 27. Остаточные напряжения после пластической деформации.

Если удалить внешние силы, стержни, претерпевшие пластические деформации, не вернутся в исходное состояние и не дадут вернуться в исходное состояние тем стержням, которые остались упругими. В системе появятся остаточные напряжения и деформации. Определение остаточных напряжений и деформаций производится на основании теоремы о разгрузке. Для доказательства этой теоремы заметим, что соотношения (26.3) и (26.4) справедливы для любого состояния системы независимо от того, находятся ее элементы в упругом или пластическом состоянии. Изменение нагрузок сказывается лишь на величинах . При отсутствии нагрузок мы получаем:

Вычтем из уравнений (26.3) уравнения (27.1) и из (26.4) — (27.2). Получим:

Здесь может быть упругой или пластической деформацией; в последнем случае соответствующее .

Обращаясь к диаграмме пластичности на рис. 34, убеждаемся, что как в том, так и в другом случае

Положим:

Величины связаны следующими уравнениями:

Но это — уравнения для решения статически неопределенной задачи в предположении упругости стержней. Решая эти уравнения, найдем и вычислим остаточные напряжения и деформации по формулам:

Таким образом, получаем следующую теорему о разгрузке:

Для определения напряжений и деформаций, остающихся в системе после снятия нагрузки, нужно вычесть из действительных напряжений и деформаций, соответствующих данной нагрузке, те напряжения и деформации, которые получаются при этой нагрузке в предположении упругости всех элементов.

Рис. 34.

Определим для примера остаточные напряжения в системе из трех стержней, изображенной на рис. 33, если все стержни были выведены за предел текучести. Соответствующая нагрузка есть фиктивные усилия, вычисленные в предположении упругости стержней, равны

Следовательно,

Предположим теперь, что разгруженная система нагружается вторично. Усилия, соответствующие нагрузке Р, можно определить так, как если бы никаких остаточных напряжений не было, а потом прибавить к ним остаточные напряжения. Пока материал упруг, получаем:

Из этих формул видно, что при повторной нагрузке система ведет себя совсем иначе, нежели при первой. Теперь предел текучести при увеличении силы Р достигается в обоих стержнях одновременно, когда .

Обобщая этот результат, можем утверждать следующее:

При повторной нагрузке все элементы остаются упругими до тех пор, пока новая нагрузка не превышает той, от которой произведена разгрузка.

Как это правило, так и теорема о разгрузке справедливы лишь тогда, когда не возникают вторичные пластические деформации. Это значит, что остаточные напряжения при разгрузке, вычисленные в предположении упругой разгрузки, нигде не превышают предела текучести. В рассмотренном примере , а Можно опасаться того, что остаточное сжимающее напряжение во втором стержне окажется по абсолютной величине больше предела текучести. В этом случае говорят о вторичных пластических деформациях; если они появляются, все рассуждения, конечно, становятся неверными. В данном примере легко проверить, что вторичные пластические деформации невозможны.

Заметим, что теорема о разгрузке может быть обобщена на случай вторичных пластических деформаций. Фиктивные напряжения и деформации при этом нужно вычислять с учетом возможности пластических деформаций, но при удвоенном пределе текучести.

Детальное выяснение обстоятельств последовательного перехода стержней из упругого состояния в пластическое само по себе редко бывает интересно; важно знать несущую способность системы, то есть ту нагрузку, при которой система становится изменяемой. В примере § 26 для определения величины РТ нужно было просто предположить, что в каждом стержне напряжения равны, и из условия равновесия найти эту силу. В сложных стержневых системах далеко не всегда бывает ясно, в каких именно элементах наступает текучесть. Поэтому необходимо или производить полный анализ по вышеописанной схеме, или же пользоваться общими методами, которые будут изложены в главе XV.