§ 90. Кручение тонкостенных стержней замкнутого профиля.

Рассмотрим тонкостенный стержень, сечение которого ограничено двумя замкнутыми кривыми. Толщина стенок есть функция дуги средней линии s, отсчитываемой от произвольной точки. При малой толщине стенки нет оснований считать касательные напряжения меняющимися по толщине. Будем считать их зависящими только от координаты .

Распределение касательных напряжений при кручении такого тонкостенного стержня можно наглядно уподобить течению жидкости между двумя жесткими стенками, причем вектор скорости соответствует вектору напряжения. Условие того, что вектор касательного напряжения в точке контура направлен по контуру, соответствует условию обтекания жесткой непроницаемой стенки.

Установленная аналогия пока носит чисто внешний, качественный характер. Она становится точной на основании следующей теоремы: Произведение касательного напряжения на толщину стенки есть величина постоянная.

Рис. 124.

Рассмотрим равновесие элемента , вырезанного из стержня, как показано на рис. 124. По закону парности касательных напряжений в продольном сечении, то есть на грани (рис. 124), действует касательное напряжение , равное напряжению в поперечном сечении. Сила, действующая на грань тррт, есть . Передняя грань отстоит от первой на расстоянии по дуге средней линии контура; здесь и другое, и отличное. Сила, действующая на эту грань, есть Проектируя на образующую силы, действующие на элемент, получим:

Отсюда

(90.1)

Если отождествить касательное напряжение со скоростью жидкости, то условие (90.1) выражает тот очевидный факт, что через каждое сечение в одно и то же время протекает одинаковый объем жидкости.

Иначе, это есть условие несжимаемости жидкости.

Теперь мы в состоянии связать величину касательных напряжений при кручении тонкостенного замкнутого стержня с действующим моментом. Изображая сечение в виде контура, на имеющего толщины (рис. 125), найдем, что на единицу длины действует касательная сила величина которой постоянна. На элемент дуги действует сила она создает момент относительно произвольной точки О.

Рис. 125.

Плечо этого момента есть перпендикуляр , опущенный из точки на касательную к контуру.

Но произведение есть удвоенная площадь треугольника с основанием и вершиной в точке О; обозначим ее . Тогда

Складывая моменты всех бесконечно малых сил, действующих на все элементы контура, получим:

Здесь F — площадь, ограниченная контуром сечения.

Отсюда

Последний вопрос, оставшийся нерешенным, — определение угла закручивашя. Для этого докажем теорему, называемую теоремой о циркуляция касательного напряжения. Вследствие гипотезы жесткого контура, как уже отмечалось, деформация стержня может быть представлена состоящей из двух частей: деформации, связанной с поворотом сечения как целого, и деформации, происходящей при перемещении точки сечения вдоль образующей. Рассматривая сдвиг элемента (рис. 124), будем мыслить его как результат двух последовательных сдвигов:

Определим сначала величину — сдвиг вследствие поворота сечения.

Соответствующее построение сделано на рис. 126. Два бесконечно близкие сечения, взятые на расстоянии поворачиваются одно относительно другого на угол Точка получает вследствие поворота перемещение равное по дуге окружности с центром в точке О. Отрезок вообще составляет с касательной к контуру в точке угол .

Совершенно то же происходит в точке . Разложим перемещение на две составляющие: перпендикулярную к контуру и направленную по касательной к контуру. Первая составляющая, не деформирует элемент , а только

Рис. 126.

наклоняет его вперед. Вторая составляющая определяет перекашивание прямоугольника ; верхнее основание оказывается сдвинутым относительно нижнего как раз на величину проекции отрезка на касательную, то есть . Поэтому относительный сдвиг

На этом чертеже мы изображали стержень не имеющим толщины, элемент принадлежит средней поверхности стержня. Выясним теперь, как деформируется эта средняя поверхность от перемещения ее точек вдоль образующей (рис. 127). Обозначим это перемещение Здесь s — дуга линии контура поперечного сечения, отсчитываемая от произвольной точки. Если та образующая, которая соответствует стороне определяется координатой s, то отрезок переместится на величину . Отрезок лежит на образующей с координатой и перемещение его есть . Разница в перемещениях двух сторон прямоугольника приводит к его перекашиванию, то есть сдвигу. Относительный сдвиг

Рис. 127.

Таким образом, полная величина сдвига

и поэтому

Умножим касательное напряжение на и проинтегрируем по контуру. В правой части интеграл от равный разности между значениями и в начальной и конечной точках пути интегрирования, для замкнутого пути обращается в нуль, и мы получаем:

Левая часть носит название циркуляции касательного напряжения, правую легко вычислить. Действительно, обращаясь к рис. 125, видим, что следовательно, . Поэтому

и для угла закручивания получается следующая формула:

В свою очередь величина находится по формуле (90.2). Поэтому

Пример 1. Тонкостенная трубка радиуса R и толщины . Для нее . По формулам и (90.5) находим:

Эти же результаты получаются, если рассматривать трубку как круглый полый стержень и применять формулы § 87.

Пример 2. Полый стержень, сечение которого изображено на рис. 128. Средняя линия сечення, показанная штрих-пунктиром, представляет прямоугольник с размерами 9 см на 18 см, следовательно, .

Рис. 128

По формулам (90.2) и (90.5)