ГЛАВА XVI. ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ
§ 170. Колебания систем с конечным числом степеней свободы.
Рассмотрим механическую систему, состоящую из упругого сооружения, которое несет ряд сосредоточенных грузов. Сначала будем представлять себе эти грузы в виде материальных точек, которые мы занумеруем от 1 до n. Массой сооружения будем пренебрегать по сравнению с массой грузов. Обозначим 
перемещения грузов, массы которых 
. Связь между силами, приложенными к грузам, 
и соответствующими перемещениями устанавливается следующими соотношениями:
или, в сокращенной записи,
Единичное перемещение 
определяется так, как было указано в § 159.
Разрешая (161.1) относительно 
мы придем к следующим соотношениям:
(170.2)
Коэффициенты влияния 
, как мы видели, находятся просто, вычисление коэффициентов жесткости 
более затруднительно.
Теперь представим себе, что система пришла в движение. На каждый из грузов действует заданная сила 
которая, вообще говоря, является функцией времени; если перемещение груза есть 
его ускорение равно 
. Чтобы составить уравнение движения, положим в соотношениях (170.1) или (170.2), следуя принципу
Даламбера,
Получим;
(170.3)
или
(170.4)
Форма (170.4) для записи уравнений движения механической системы более проста, но мы будем по большей части пользоваться уравнениями в форме (170.3), именно потому, что коэффициенты влияния 
определяются проще.
Заметим, что, по существу, нумеровать от единицы до 
нужно не грузы, а степени свободы системы. Поэтому, например, желая решить задачу о колебаниях изображенной на рис. 258 рамы с грузом конечных размеров на конце, мы обозначим цифрами 1,2 и 3 степени свободы, соответствующие горизонтальному перемещению, вертикальному перемещению и повороту. Соответственно 
представляет собою массу груза, тогда как 
есть его момент инерции, 
, — это линейные перемещения, тогда как 
— угол поворота. Строя эпюры моментов от изображенных единичных сил и единичного момента и применяя графоаналитический способ вычисления интеграла Мора, иайдем необходимые для составления уравнений движения коэффициенты влияния 
.
Рис. 258.
В технике возмущающие силы бывают известны довольно редко, обычно задана только частота возмущающих сил и задача расчета сводится к определению собственных частот свободных колебаний с целью выявления возможности резонанса. Поэтому мы положим в уравнениях движения 
и будем искать решение в виде
(170.5)
В результате подстановки выражения (170.5) в уравнение движения получим;
(170.6)
или
(170.7)
