§ 108. Несущая способность стержня при изгибе.

Предельные значения изгибающего момента можно найти иным способом. На рис. 157 изображены графики, так называемые эпюры, распределения напряжений по поперечному сечению стержня для возрастающих значений момента. На рис. 157, а показано распределение напряжений в упругом состоянии, на рис. 157, б уже образовались пластические зоны, на рис. 157, в пластические зоны, в которых напряжение постоянно, распространились на большую часть сечения.

Наконец, на рис. 157, г изображены эпюры распределения напряжений для предельного состояния, когда весь стержень перешел в пластическое состояние. Скачок напряжений от к при переходе через нейтральную ось, конечно, физически невозможен, и состояние, изображенное на рис. 157, г, никогда не реализуется.

Рис. 157.

Момент внутренних сил, вычисленный для этого состояния, равен величине изгибающего момента, при котором равновесие уже невозможно, тогда как меньшим значениям изгибающего момента соответствуют определенные состояния равновесия с упругой областью вблизи нейтрального слоя. Момент, соответствующий переходу всего стержня в пластическое состояние, называется предельным моментом. Нахождение предельного момента мы произведем для стержня произвольного симметричного сечения, изгибаемого в плоскости симметрии. Нейтральная ось — это прямая , параллельная оси так как изгиб происходит в плоскости но вообще не совпадающая с осью .

Заметим, что внутренние силы в сечении, уравновешивающие момент внешних сил, должны приводиться к паре; следовательно, главный вектор их равен нулю. Обозначим через площади частей, на которые делит нейтральная ось сечение. Растягивающая сила в сечении есть сжимающая сила . По предыдущему

Отсюда

Таким образом, нейтральная ось делит сечение стержня на две равновеликие части. Пусть — центры тяжести этих частей. Тогда момент внутренних сил относительно нейтральной оси есть

Введем так называемый пластический момент сопротивления:

(108.1)

Тогда

Желая рассчитать на прочность по допускаемым нагрузкам стержень, подвергнутый изгибу, мы должны потребовать, чтобы изгибающий момент не превышал величину предельного момента, поделенную на коэффициент запаса :

Но . Таким образом,

При расчете по допускаемым напряжениям формула получается точно такой же, только вместо будет стоять (см. (106.2)).

Примеры.

а) Круглое сечение. Расстояние центра тяжести полукруга от центра окружности равно . По формуле (108.1)

б) Сечение в форме равнобедренного треугольника (рис. 158). В подобных треугольниках площади относятся, как квадраты сходственных элементов.

Рис. 158.

Поэтому нейтральная ось, делящая пополам площадь треугольника, пройдет на расстоянии от вершины. Введем вспомогательные оси проходящие через вершину треугольника. Пусть будет v — координата центра тяжести всего сечения, — коордийаты центров тяжести его частей. По известному свойству статических моментов

отсюда

Расстояние равно разности таким образом,

Но , поэтому

Пластический момент сопротивления

Обычный момент сопротивления

Разница между ними составляет 134%.