§ 100. Главные оси и главные моменты инерции.
Из рассмотрения круговой диаграммы видно, что существуют две взаимно перпендикулярные оси, для которых центробежный момент равен нулю и осевые моменты принимают наибольшее и наименьшее значение.
Оси эти называются главными осями инерции, соответствующие осевые моменты — главными моментами инерции. Будем считать, что 
, есть наибольший момент, а 
— наименьший. Формулы для них следующие:
Здесь 
— угол между осями 
. Эти формулы мы получили из формул (46.7) и (46.8) для главных напряжений и угла, определяющего направление главной оси, заменив в них 
через 
через 
через — 
Очевидно, что фигура, для которой круговая диаграмма не вырождается в точку, может иметь только одну пару главных осей. Если из каких-либо соображений известно, что фигура имеет больше одной пары главных осей, то круговая диаграмма вырождается в точку и любая ось является главной осью. Это относится прежде всего к центральным осям всех правильных фигур. Так, момент инерции квадрата относительно любой оси, проходящей через центр тяжести, есть 
если а — сторона.
Действительно, в квадрате можно указать две пары осей симметрии: диагонали и прямые, соединяющие середины сторон. Как показано в § 96, оси являются главными, если хотя бы одна из них есть ось симметрии.
Главные центральные оси и моменты инерции имеют особое значение в теории изгиба. В большинстве случаев фигуру можно разбить на простейшие фигуры — прямоугольники и треугольники.
Схема определения главных центральных моментов при этом следующая:
1. Находится центр тяжести фигуры, и приводятся вспомогательные центральные оси х и у.
2. Через центр тяжести каждой из частей, координаты которого в осях х, у суть 
проводятся оси 
параллельные осям х и у.
3. Определяются площади 
моменты инерции 
каждой части относительно своих центральных осей 
.
4. Находятся моменты инерции всей фигуры относительно осей х и у по формулам:
(100-2)
5. По формулам (100.1) находят главные моменты инерции и угол 
определяющий направление оси I. Для уточнения вопроса о том, которая из осей является первой, можно воспользоваться формулами (36.9), которые применительно к моментам инерции будут иметь вид:
Рис. 145.
Пример. Требуется определить главные центральные моменты инерции сечения, изображенного на рис. 145. Фигуру можно считать состоящей из трех частей: прямоугольника с высотой 6 см и шириной 2 см, квадрата со стороной 4 см и крута отрицательной площади диаметра 3 см. Для выполнения первого этапа введем вспомогательные оси 
(их можно выбирать как угодно). Вычисления расположены в следующей таблице:
Таблица I
Здесь 
— координаты центра тяжести каждой части, 
— площади частей, произведения 
— статические моменты. Суммируя соответствующие столбцы, находим общую площадь и статические моменты ее относительно осей и и V, после чего определяем координаты центра тяжести:
Дальнейшие вычисления сведены в таблице II.
Здесь 
моменты инерции прямоугольников вычисляются по формуле (98.3):
момент инерции круга равен (98.5); для круга площадь и осевые моменты считаются отрицательными.
Таблица II
По формулам (100.2) 
представляет собою результат сложения сумм четвертого и восьмого столбцов:
Аналогично
Главные моменты инерции находятся по формулам (100.1):
Таким образом,
По формуле (100.3) находим угол наклона главной оси:
и
