§ 24. Температурные и монтажные напряжения.
Изменение температуры стержней статически неопределимых систем вызывает температурные деформации, которые, как правило, не удовлетворяют условиям совместности деформаций. Поэтому в стержнях возникают упругие напряжения и соответствующие им упругие деформации.
Общие деформации, состоящие из температурных и упругих, должны удовлетворять уравнениям совместности деформации. Рассмотрим простейший пример, когда стержень помещен при температуре 
между неподвижными стенками, после чего температура его повышается до t. Условие совместности деформации заключается в том, что 
.
Температурная часть удлинения:
здесь 
— коэффициент линейного температурного расширения, материала.
Упругая часть:
Таким образом,
Отсюда
Схема решения более сложных статически неопределенных задач о температурных напряжениях ничем не отличается от общей схемы, данной в предыдущем параграфе, только в пункте 2 схемы вместо закона Гука следует пользоваться формулой
Пример. В системе, изображенной на рис. 31 и собранной при температуре 
, средний стержень нагрет до 
, температура крайних осталась без изменения. Площади сечения стержней одинаковы, материал — сталь. Требуется найти напряжения.
Рис. 31.
При построении диаграммы перемещений мы учтем, что система деформируется симметричным образом, поэтому
Так как стержень 
не нагревается, то 
, но
Вставив эти значения в уравнение деформаций, получим:
или
Отсюда и из уравнения статики
находим:
При 
30° получим:
При вычислениях принято 
.
Если бы нагревался один из боковых стержней, мы должны были бы рассмотреть более общий случай деформации, сопровождаемый горизонтальным смещением узла, и поступить так, как в примере 2 параграфа 23.
Как видно из решенного примера, температурные напряжения достигают довольно большой величины при сравнительно незначительных разностях температур. В стержневых системах температурные напряжения сами по себе не представляют опасности, так как наступающая пластичность ограничивает рост напряжений, а температурные деформации остаются во много раз меньше тех деформаций, при которых происходит разрушение (если речь не идет о весьма хрупких материалах). Однако наличие температурных напряжений может существенно повлиять на картину распределения усилий в системе.
Практическое осуществление статически неопределимых стержневых систем требует весьма точного изготовления стержней, чтобы при сборке концы их соединялись в узлах без применения усилия.
В противном случае сборка становится возможной только за счет упругой деформации стержней, и в системе возникают напряжения, называемые начальными или монтажными.
Предположим, например, что в предыдущем примере средний стержень сделан короче крайних на величину А (рис. 32). При решении вопроса о монтажных напряжениях будем предполагать, что усилия положительны и стержни удлиняются, хотя очевидно, что удлиняется только средний стержень, а крайние укорачиваются.
Рис. 32.
Уравнение совместности деформаций будет
.
Отсюда
Уравнение равновесия:
Полученная система уравнений весьма похожа на уравнения для тем пературных напряжений, только вместо 
стоит — А. И действительно, совершенно безразлично, сделать ли стержень короче или сделать его надлежащей длины, но потом укоротить путем охлаждения. Очевидный результат решении задачи следующий:
