§ 146. Вращающиеся диски. Упругое состояние.

Одной из основных деталей паровой или газовой турбины является диск, посаженный на вал и несущий на ободе лопатки. При вращении в диске возникают инерционные напряжения, требование прочности диска ограничивает величину допустимой угловой скорости вращения.

Рис. 225.

Обычно диски имеют толщину, меняющуюся в зависимости от радиуса; задаваясь надлежащим профилем диска, можно добиться его наибольшей прочности. На рис. 225 приведены схемы типичных конструкций дисков. В случае а диск соединен со ступицей, которая сажается на вал, в случае диск просто имеет центральное отверстие и сажается на вал непосредственно, в случае в диск изготовлен сплошным и крепится к концу вала при помощи фланца. Обозначим толщину диска и будем считать распределение напряжений постоянным по толщине. Такое предположение совершенно аналогично основному предположению при расчете стержней переменного сечения (§ 21), оно является в такой же мере нестрогим.

Вырежем теперь бесконечно малый элемент двумя соседними меридиональными сечениями и двумя концентрическими цилиндрическими сечениями. Соответствующий чертеж будет Совершенно подобен чертежу, приведенному на рис. 221; разница состоит в том, что размер изображенного элемента в направлении, перпендикулярном плоскости чертежа, не . Соответственно изменяются площади граней элемента и действующие на грани силы. Эти силы показаны на рис. 226.

Рис. 226.

Поскольку диск вращается, нужно рассматривать уже не равновесие элемента, а его движение. Следуя принципу Даламбера, прикладываем к центру тяжести элемента фиктивную силу — центробежную силу, которая равна произведению массы элемента на ускорение . Составляя уравнение равновесия путем проектирования всех сил на биссектрису угла и сокращая дифференциалы, получим:

(146.1)

Уравнение совместности деформации будет точно таким же, как и для трубы, а именно:

Так как осевое напряжение то по закону Гука

Не составляет труда и здесь ввести функцию напряжений подобно тому, как это было сделано для трубы. Мы ограничимся здесь лишь простейшими случаями.

Диск постоянной толщины. Сокращаем толщину h в уравнении (146.1) и полагаем

По закону Гука

Внесем эти значения деформаций уравнение совместности. После упрощения получим:

(146.2)

Это уравнение отличается от уравнения (144.4), полученного для трубы, только правой частью. Общее решение однородного уравнения будет то же, что и для трубы (§ 144), частное решение неоднородного таким образом, общий интеграл уравнения (146.2)

Напряжения диске выражаются следующими формулами:

(146.3)

Постоянные А и В определяются из граничных условий. Для сплошного диска радиуса напряжения в центре должны быть конечны, поэтому постоянная В равна нулю. Постоянная А определится из условия, что радиальное напряжение на периферии диска, то есть при равно нагрузке от центробежных сил обода с лопатками. Пренебрегая массой обода и лопаток, получим Следовательно, Формулы для напряжений в сплошном вращающемся диске приобретают следующий вид:

Если диск имеет в центре отверстие раднуса а, постоянные ищутся из граничных условий при . Здесь могут быть заданы напряжения или соотношение между напряжением и осевым перемещением, если решается задача о посадке диска на вал или о сопряжении с ободом.