§ 176. Поперечные колебания стержней.

При составлении дифференциального уравнения поперечных колебаний стержня мы будем отправляться от дифференциального уравнения изогнутой оси балки, записанного в форме (116.5):

(176.1)

Единственное различие между уравнениями (116.5) и (176.1) состоит в том, что в последнем уравнении употреблен символ частной производной по координате. Теперь, рассматривая динамические задачи, мы должны считать, что прогиб v является функцией двух переменных — координаты z и временив. Уравнение (176.1) получено для случая равновесия балки, но его можно применить к случаю движения, воспользовавшись принципом Даламбера. Нагрузка должна включать в себя силы инерции. Ускорение элемента балки в сечении с координатой z есть сила инерции элемента длиной равна — , таким образом, сила инерции на единицу длины

Рассматривая только свободные колебания балки, когда возмущающая сила отсутствует, мы внесем это выражение q в уравнение движения (176.1) и получим следующее дифференциальное уравнение поперечных колебаний стержня:

Для интегрирования этого уравнения мы применим виовь метод разделения переменных, положив

Получим:

Здесь точки обозначают дифференцирование по времени, штрихи — дифференцирование по координате. Перепишем это уравнение следующим образом:

Повторяя рассуждения, проведенные в аналогичном случае применительно к продольным колебаниям, получим два обыкновенных дифференциальных уравнения:

(176.2)

Первое (незанумерованное) уравнение показывает, что есть частота свободных колебаний балки. Интегрируя второе уравнение и составляя граничные условия для определения констант, мы убеждаемся, что эти константы не все равны нулю тогда, когда принимает определенные значения, являющиеся собственными частотами балки. Условимся нумеровать собственные частоты в порядке возрастания, так что . Каждому значению собственной частоты соответствует главная форма колебаний , удовлетворяющая уравнению (176.2) при а именно:

(176.3)

Конечно, главная форма определена с точностью до постоянного множителя.

Главные формы колебаний обладают свойством ортогональности, которое совершенно аналогично свойству, доказанному в § 171 для систем с конечным числом степеней свободы. Если две главные формы колебаний, соответствующие разным собственным частотам и то

(176.4)

Для доказательства заметим, что уравнение (176.3) может быть истолковано как уравнение статического изгиба балки распределенной нагрузкой интенсивность которой равна . Точно так же представляет собою статический прогиб балки от распределенной нагрузки . Применим к этим двум состояниям балки теорему Бетти:

или, внося сюда значения

Так как это равенство возможно только при выполнении условия (176.4).

Для определенности будем нормировать главные формы колебаний, выбирая постоянный множитель таким образом, чтобы было

Аналогично тому как произвольная конфигурация системы с конечным числом степеней свободы представляется через главные формы (§ 172), упругая линия балки всегда может быть представлена в виде ряда по главным формам ее колебаний.

Пусть есть некоторая функция, представляющая собою прогиб балки под действием нагрузки . Функция удовлетворяет дифференциальному уравнению изгиба

Представим в виде бесконечного ряда:

(176.5)

Внесем этот ряд в дифференциальное уравнение:

Воспользуемся теперь дифференциальным уравнением (176.3), чтобы исключить производные от функций . Получим:

Умножим обе частй этого равенства на и проинтегрируем по длине балки. В силу условия ортогональности от ряда в левой части останется только один член с индексом в силу условия нормирования этот член будет

Таким образом,

(176.6)

Разложение типа (176.5) представляет собою в известном смысле обобщение разложения Фурье по тригонометрическим функциям. Если функция удовлетворяет тем же граничным условиям, что и функция и четырежды дифференцируема, то ряд (176.5) сходится абсолютно и равномерно. Но выполнение названных условий автоматически обеспечивается тем, что является прогибом от действия нагрузки , причем - интегрируемая функция.