§ 140. Потеря устойчивости за пределом упругости (продолжение).

Исследование устойчивости сжатого стержня приводит к установлению некоторой зависимости между критическим напряжением и гибкостью. Пока напряжение меньше предела упругости, эта зависимость дается формулой (139.1), за пределом упругости — формулой (139.10), если считать справедливой ту постановку задачи, для которой она была получена.

Будем откладывать критическое напряжение по оси ординат, гибкость — по оси абсцисс. Для напряжений, меньших чем предел, упругости, формула (139.1) дает кривую гиперболического типа (рис. 216). Для напряжений, больших чем предел упругости, кривая построена по формуле (139.10). Для построения нужно иметь точную диаграмму сжатия материала, пользуясь этой кривой, можно для данного сечения определить приведенный модуль как функцию сжимающего напряжения. При построении кривой удобно вычислять гибкость задаваясь различными значениями сжимающего напряжения.

В первой работе Энгессера (1889 г.) формула для критического напряжения отличалась от формулы (139.10) тем, что в ней вместо приведенного модуля К фигурировал касательный модуль . На возможность образования зон разгрузки при потере устойчивости обратил внимание Ф. С. Ясинский, после чего Энгессер переработал свою теорию и ввел приведенный модуль К. Совсем недавно, в 1947 г., старое решение Энгессера, отброшенное самим автором, получила новое освещение в работе Шенли.

Представим себе, что стержень нагружается непрерывно возрастающей силой; когда сила достигает некоторого значения стержень начинает искривляться, но одновременно с искривлением происходит дальнейшее сжатие, так как сила продолжает увеличиваться. В результате разгрузка никогда не происходит, напряжения растут во всех точках сечения, быстрее с вогнутой стороны и медленнее с выпуклой. Зависимость между приращениями напряжения и деформации определяется поэтому касательным модулем . В результате критическое напряжение находится из следующего уравнения:

На рис. 216 приведена и вторая кривая, рассчитанная по уравнению (140.1). Опытные точки ложатся ближе к этой второй кривой.

Рис. 216.

В постановке Шенли вопрос об устойчивости сводится к вопросу о бифуркации, то есть разветвлении форм движения. Пока сила меньше, чем при увеличении силы наблюдается одна единственная форма движения стержня, а именно его равномерное сжатие. При возможны две формы движения: либо равномерное сжатие, либо непрерывное выпучивание: при этом каждому значению силы соответствует вполне определенная величина прогиба. Действительно, хотя при выводе формулы (140.1) мы воспроизводили тот же ход рассуждения, который привел нас к формуле Эйлера для упругого (состояния стержня, на самом деле малое приращение сжимающей силы делает возможным лишь малые искривления стержня, не сопровождающиеся разгрузкой. При появлении частичной разгрузки сопротивление изгибу возрастает, поэтому равновесие возможно не при любой величине прогиба, а при вполне определенном его значении.