§ 197. Ползучесть при изгибе.

Разберем некоторые простые вадачи, решаемые на основе теории установившейся полвучести. Рассмотрим сначала изгиб стержня с сечением, имеющим две оси симметрии (рис. 298). Выбирая оси координат та, как показано на чертеже, и считая, что изгибающий момент действует в плоскости обозначим через скорость ивменения крнвнзны нейтрального слоя. Тогда вследствие гипотезы плоских сечений

Примем закон полвучести в виде

(197.1)

Тогда

Изгибающий момент в сечении

(197.2)

При этом мы сделали допущение о том, что вакон ползучести при сжатии будет тот же, что и при растяжении. Уравнение (197.1) справедливо только для случая растяжения. Если — целое и нечетное, это уравнение будет действительно и в случае сжатия, тогда отрицательным напряжениям соответствуют отрицательные скорости деформации. Правильная вапись, пригодная для любых вначений показателя как при растяжении, так и при сжатии, будет следующая;

Легко проверить, что при такой записи всегда получаются правильные знаки.

Введем обозначение

При это момент инерции поперечного сечеиия относительно оси х, при — удвоенный статический момент верхней половины сечения относительно той же оси. Из уравнения равновесия следует:

и

(197.3)

В частном случае прямоугольного сечения

На рис. 299 изображены эпюры распределения напряжений по сечению стержня прямоугольного сечения при одинаковых значениях изгибающего момента, но при разных

Рис. 299.

Максимальное напряжение

При мы получаем распределение напряжений в упругом стержне, при — в стержне из идеально-пластического материала.

На практике нередко значение оказывается весьма большим, от 8 до 12.

Если например, наибольшее напряжение отличается от напряжения в идеально-пластическом стержне всего на 5%. Это замечание будет испольвовано при рассмотрении следующего примера, сейчас же мы остановимся на рассмотрении реального смысла найденного решения.

В первый момент после приложения нагрузки распределение напряжений следует закону упругости, следовательно, изображается прямолинейной эпюрой на рис. 299.

Далее начинается процесс перераспределения напряжений вследствие ползучести. Теория установившейся ползучести не позволяет нам ничего сказать об этом процессе; только по истечении достаточно большого времени устанавливается распределение напряжений, даваемое формулой (197.3). Для того чтобы судить о прочности, строго говоря, мы должны знать тот закон, по которому изменяется максимальное напряжение от начального значения, равного до того, которое дается формулой (197.4) при соответствующем п. Располагая кривой длительной прочности материала и применяя принцип линейного суммирования повреждаемости, мы сможем определить долговечность; Многочисленные расчеты, производившиеся на основе более точных и совершенных теорий ползучести, описывающих процесс непрерывного перераспределения напряжений, показали, что, определяя долговечность но наибольшему напряжению установившейся ползучести, мы не делаем большой ошибки. То эквивалентное напряжение, которое нужно сравнивать с кривой длительной прочности, чтобы учесть большую величину напряжения в первом периоде, превышает напряжение установившейся ползучести всего на 3 — 4% не более.

Рис. 300.

Выражение для скорости изменения кривизны можно использовать для нахождения прогиба балки. Возьмем, например, балку длины (рис. 300), загруженную посередине сосредоточенной силой Р. Изгибающий момент поскольку момент не зависит от времени, скорость изменения кривизны тоже не зависит от времени, значит,

Подставляя сюда значение через известный момент, получим следующее дифференциальное уравнение изогнутой оси:

Интегрируя один раз, найдем:

Угол наклона изогнутой оси должен равняться нулю в середине балки при .

Отсюда находится функция времени и выражение для производной от прогиба становится следующим:

Интегрируем еще раз, учитывая начальное условие Получаем:

Определим наибольший прогиб при . Получим:

Изогнутая ось балки по мере увеличения . становится все более близкой к ломаной, соответствующей шарниру текучести в том сечении, где приложена сила.

Расчет на ползучесть стержней несимметричного сечения оказывается довольно затруднительным, причем основная трудность состоит в нахождении нейтральной оси сечения. Часто применяемый приближенный прием состоит в том, что нейтральная ось находится так, как если бы материал стержня был идеально-пластическим.