Смещение и является функцией двух переменных — времени t и координаты в недеформированном состоянии х, поэтому смещение сечения с координатой 
будет и 
. На том же рис. 262 изображен элемент 
отдельно. Обозначим напряжение, действующее в сечении 
через 
, тогда напряжение, действующее в сечении 
будет 
. Но изображенный элемент находится в движении, его ускорение равно 
, масса 
где q — плотность, F — площадь поперечного сечения. Составим уравнение движения этого элемента:
Рис. 262.
Но по закону Гука 
относительная деформация элемента 
; внося это в уравнение движения и сокращая 
, получим:
Здесь
Обращаясь к § 30, заметим, что с есть скорость распространения продольной упругой волны.
Дифференциальное уравнение (175.1) называется волновым уравнением, оно описывает всевозможные динамические процессы в стержне, распространение волн, а также колебания.
В § 30 мы рассмотрели вопрос о распространении волн, не прибегая к дифференциальному уравнению, сейчас мы имеем возможность получить те же результаты иным путем. Действительно, уравнению (175.1) мы удовлетворим, положив 
, где 
- совершенно произвольная функция. Но движение, описываемое найденным решением, представляет собою распространение волн со скоростью с. Общее решение уравнения (175.1), принадлежащее Даламберу, имеет следующий вид:
(175.2)
Два слагаемых представляют собою две волны, бегущие с одинаковою скоростью в противоположных направлениях.
Хотя решение (175.2) является совершенно общим в том смысле, что любые движения стержня могут быть представлены таким образом, при изучении колебаний оно неудобно, так как не позволяет простым способом обнаружить собственные частоты колебаний. Метод, который мы применим для задач о колебаниях, называется методом разделения переменных или методом Фурье. Заметим прежде всего, что уравнение (175.1) является линейным уравнением и его решения обладают следующими очевидными свойствами:
1. Частное решение уравнения (175.1), умноженное на. произвольную постоянную, является опять решением этого уравнения.
2. Сумма двух (а следовательно, любого числа) частных решений является решением.
Будем теперь искать частные решения уравнения (175.1) в виде произведения двух функций 
(175.3)
Подставим указанное выражение для 
в уравнение (175.1):
Здесь точки обозначают дифференцирование по времени, штрихи — дифференцирование по координате.
Разделение переменных состоит в том, что уравнение это записывают следующим образом:
Первый член представляет собою функцию только времени, второй член — функцию только координаты х, равенство возможно только в том случае, если каждая из этих функций — постоянная. Таким образом, 
— постоянная величина. Для функций 
получаются следующие, уже обыкновенные, дифференциальные уравнения:
(175.4)
Общий интеграл первого уравнения:
Отсюда видно, что <в представляет собою круговую частоту свободных колебаний. Осталось определить функцию 
Общий интеграл уравнения (175.5):
(175.6)
При определении констант этого уравнения из граничных условий мы сталкиваемся с тем же положением, что и при решении задачи устойчивости (§ 136). При однородных граничных условиях для определения констант С, и С, получается система однородных уравнений, имеющая тривиальное нулевое решение. Нетривиальное решение существует только при определенных значениях 
которые и являются собственными частотами.
Прежде чем перейти к примеру, выясним возможные виды граничных уравнений:
а) Закрепленный конец, 
при любом i, следовательно, 
.
б) Свободный конец 
следовательно, 
а так как 
вообще не равно нулю, то 
.
в) На конце прикреплен груз массы М. Применяя принцип Даламбера, приравняем силу инерции груза внутренней силе в концевом сечении:
или
Исключим отсюда Т с помощью уравнения (175.4) и сократим общий множитель 
Получим:
В качестве примера рассмотрим задачу о колебаниях стержия длины 
один конец которого закреплен, а на другом имеется груз массы М.
Помещая начало координат в точке 
находим сразу, что постоянная 
в уравнении (175.6) равна нулю. Подставляя значение 
в граничное условие на конце 
где прикреплен груз, находим:
Если 
никаких колебаний нет, колебания возникают только тогда, когда обращается в нуль скобка. Обозначим через m массу стержня, 
. Тогда уравнение для нахождения 
примет следующий вид:
Это трансцендентное уравнение имеет бесчисленное множество корней, число собственных частот системы бесконечно велико. Графическое определение корней производится так, как показано на рис. 263; значения 
, удовлетворяющие уравнению (175.7), являются абсциссами точек пересечения кривой 
и гиперболы:
Рис. 263.
При весьма больших значениях у гипербола проходит очень близко к горизонтальной оси и абсциссы точек пересечения гиперболы с тангенсоидой лишь очень немного отличаются от 
. Поэтому для высоких частот получается асимптотическая формула
При достаточно большом 
собственная частота, определяемая приближенной формулой (175.8), сколь угодно мало отличается от ее точного значения.
Собственную частоту основного тона мы вычислим в предположении, что масса стержня мала по сравнению с массой груза. Тогда 
— малая величина и уравнение (175.7) в первом приближении можно записать следующим образом:
После очевидных преобразований отсюда следует:
Но такое значение собственной частоты мы получили бы, рассматривая колебания системы с одной степенью свободы, а именно стержня, лишенного массы и несущего на конце массу М. Чтобы приближенно учесть массу стержня, удержим в уравнении (175.7) не один, а два члена разложения тангенса, а именно положим:
Уравнение принимает вид:
Его приближенное решение:
Отсюда
с координатами 
соответственно. Фиксируя некоторый момент времени 
когда сечение 
занимает положение 
сечение 
— положение 
обозначим перемещение левого сечения, первоначальная координата которого была х, через 
.
