§ 3. Статически неопределенные задачи.

Так называются задачи статики, в которых числй неизвестных превышает число уравнений равновесия. Простейший пример статически неопределимой системы изображен на рис. 1. Тяжелый однородный стержень веса О, который мы будем считать абсолютно жестким, подвешен на трех симметрично расположенных нерастяжимых нитях. Для трех натяжений статика дает только два уравнения:

Задача оказывается неопределенной. Легко понять, что эта неопределенность связана «менно с гипотезой о нерастяжимости нитей. Представим себе, что средняя нить короче крайних на сколь угодно малую величину . Тогда вся тяжесть груза приходится на среднюю нить, крайние нити не натянуты:

Если, наоборот, средняя нить длиннее крайних на величину , то она свободно провисает, и груз G распределяется поровну между двумя крайними нитями. В этом случае получаем следующее решение, удовлетворяющее уравнениям статики:

(Случай Б)

Чтобы перейти от случая А к случаю Б, нужно изменить длину средней нити на бесконечно малую величину . Значит, бесконечно малое изменение длины одной из нитей влечет за собой конечное изменение всех натяжений. Это физически абсурдно. Так как нельзя себе представить реальные нити строго одинаковой длины, то всегда должен осуществляться либо случай А, либо случай Б. Вопрос же о том, что будет, если нити строго математически равны между собой, принципиально неразрешим и не должен ставиться для идеальных, то есть нерастяжимых нитей.

Рис. 1.

Для бруса, подвешенного, на реальных нитях, вопрос о натяжениях решается немедленно. Предположим, что нити имеют одинаковую толщину и сделаны из одинакового материала. Под тяжестью груза нити вытянутся, вследствие симметрии системы брус останется горизонтальным, значит, увеличение длины каждой нити будет равно одной и той же величине.

Естественно предположить, что у одинаковых нитей равным удлинениям соответствуют равные натяжения. Отсюда

Последнее уравнение вытекает не из законов статики, а из рассмотрения деформаций системы. Решая его совместно с уравнениями статики, получим

Теперь, если средняя нить короче крайних на малую величину , натяжение ее больше, чем натяжение крайних на малую величину . При , стремящемся к нулю, стремится также к нулю.

В дальнейшем мы встретимся с многочисленными примерами статически неопределимых систем и рассмотрим общие методы их расчета.