§ 76. Ассоциированный закон течения.

Следующий вопрос, возникающий при рассмотрении идеально пластического тела, в котором достигнуто состояние текучести, состоит в том, чтобы иайти распределение скоростей течения.

Мы будем по-прежнему рассматривать элемент объема отнесенным к. главным осям тензора напряжений. Возьмем этот элемент в виде кубика (рис. 108), по граням которого действуют напряжения . Для изотропного материала первое совершенно естественное предположение, которое мы сделаем, состоит в том, что ребра кубика удлиняются или укорачиваются, но углы остаются прямыми и, следовательно, сдвигов не происходит. Таким образом, деформация в каждый момент определяется тремя величинами: относительными деформациями в направлении главных осей. Эта первая гипотеза может быть сформулирована следующим образом:

1. Главные оси тензора напряжений и тензора скоростей деформации совпадают.

Рис. 108.

В приведенной формулировке, сказано несколько больше, чем в предварительных рассуждениях. Дело в том, что напряженное состояние в теле может менятьсяи при этом может происходить поворот главных осей. Суммарная деформация элемента состоит из той части, которая вызвана напряжениями показанными на рис. 108, и из предварительной деформации, связанной с теми напряженными состояниями, которые возникли в теле ранее. Основная разница между упругостью и пластическим течением состоит в том, что упругая деформация полностью определяется действующими напряжениями, в теории же пластического течения накопленная деформация необратима и задание мгновенного распределения напряжений позволяет судить лишь о том, каковы будут приращения деформаций.

Как указывалось, пластическая деформация носит сдвиговой характер и не сопровождается изменением объема. Этот факт подтвержден многочисленными экспериментами (в первом приближении). Сформулируем его в виде второй гипотезы:

2. Пластическая деформация не сопровождается, изменением объема.

Как известно, относительное изменение объема равно сумме главных деформаций (§ 48). Поскольку мы формулировали первую гипотезу в скоростях, удобно записать условие несжимаемости следующим образом:

Для того чтобы сформулировать третью и последнюю гипотезу, будем исходить из обратной постановки задачи. Предположим, что скорости деформации , заданы, требуется определить напряжения удовлетворяющие условию пластичности. В общем случае условие пластичности записывается так:

Высказанный Мизесомв 1913 г. принцип заключается в следующем:

3. При заданном пластическом течении материала напряжения распределяются таким образом, что мощность пластического формоизменения принимает стационарное значение.

Это и есть третья гипотеза. Мощность — это работа за единицу времени. При растяжении работа, отнесенная к единице объема и соответствующая изменению относительной деформации на величину равна следовательно, работа за единицу времени равна .

При трехосном напряженном состоянии эта мощность равна

Потребуем, чтобы величина W, рассматриваемая как функция напряжений при заданных скоростях, принимала экстремальное значение. При этом должно быть еще выполнимо условие (76.1). Следуя методу Лагранжа, вводим неопределенный множитель и составляем выражение

Приравниваем теперь нулю частные производные от функции Ф по . Получаем:

Эти соотношения выражают закон течения, ассоциированный с условием пластичности .