§ 179. Действие ударных и импульсивных нагрузок на упругие системы.

Ударными или импульсивными мы будем называть нагрузки, действующие в течение весьма короткого времени. Если продолжительность действия нагрузки мала по сравнению с периодом свободных колебаний системы, то за время действия нагрузки не произойдет сколько-нибудь заметных перемещений масс, но эти массы приобретут некоторые конечные скорости. Схематизируя, расчет на действие мгновенных нагрузок можно разбить на два следующих этапа:

1. Определение скоростей, которые мгновенно получают точки системы после удара или импульса.

2. Изучение свободных колебаний системы при заданном распределении начальных скоростей.

Ударное нагружение происходит тогда, когда по упругой системе ударяет некоторая масса, движущаяся с определенной скоростью. Возникающая в момент соударения сила неизвестна, известна скорость удара, а также характер удара (упругий или неупругий).

При импульсивной нагрузке мы обычно знаем величину силы, но деформации системы определяются не величиной силы, а величиной ее импульса. Типичный пример нагрузки импульсивного типа представляет давление взрывной волны. Для простоты мы будем решать эти задачи приближенным методом, основанным на том, что конфигурация системы при движении её после удара считается известной заранее и неизменной.

Для наглядности мы будем в дальнейшем рассматривать не произвольную упругую систему, а тяжелую балку, несущую на себе сосредоточенных грузов, все выводы немедленно распространяются на иные системы. Итак, предположим, что конфигурация балки в какой-то момент времени задана прогибом и форма кривой прогиба в процессе колебаний неизменна, так что

Потенциальная энергия системы:

Кинетическая энергия:

Составим уравнение движения системы в форме уравнения Лагранжа второго рода:

Здесь — распределенная нагрузка, — сосредоточенные силы, приложенные в точках .

Если все нагрузки, приложенные к системе, импульсивные, действующие в течение весьма малого времени , мы можем проинтегрировать уравнение (179.1) по t от до . Поскольку второй член ограничен, интеграл от него исчезнет вместе с и мы получим:

(179.2)

На втором этапе мы должны интегрировать уравнение (179.1) при (действие нагрузки уже закончилось), причем формула (179.2) дает начальное значение начальные значения перемещений равны нулю. Мы выписали выражение для кинетической энергии, используя его, будем иметь:

Следовательно,

Подставим выражения Т и U в уравнение (179.1), положим в нем и разделим на Получим:

(179.3)

Здесь — частота, найденная по формуле Релея. Интегрируем (179.3) при начальных условиях

Найдем:

Наибольшее значение прогиба:

или

Пример. Груз массы Ж ударяет со скоростью v по середине балки на двух опорах с массой длиной I и жесткостью . Будем считать удар неупругим. Количество движения груза равно количеству движения системы, состоящей из балки и скрепленного с нею груза, движущихся как одно целое. Положим

Это кривая прогиба балки, нагружеииой сосредоточенной силой посередине, при этом поэтому и есть перемещение груза и — его линейная скорость. Кинетическая энергия при скорости, равной единице:

Потенциальная энергия при :

Отсюда

Количество движения системы немедленно после удара:

Отсюда

Наибольший прогиб: