§ 167. Кинематический метод определения предельной нагрузки.

Выбирая произвольное кинематически возможное состояние, мы можем получить по формуле (166.1) величину внешней нагрузки, которая представит собою некоторое приближение к истинной предельной нагрузке системы.

В отличие от статического метода, кинематический метод дает для определенной нагрузки завышенное значение, то есть оценку сверху.

Обозначим по-прежнему внешние силы и усилия в пластических элементах для истинного состояния, выберем произвольное кинематически возможное состояние, для которого обобщенные скорости деформации суть а скорости точек приложения внешних сил — . По заданному распределению с помощью условия пластичности находим усилия .

Поле скоростей v, q является кинематически возможным полем, поэтому мы можем применить принцип Лагранжа к истинному состоянию, приняв возможные перемещения пропорциональными скоростям . Таким образом, имеем:

(167.1)

Прибавим к правой части этого равенства и вычтем из нее 2 Получим

Но вследствие условия (163.1) последняя сумма в правой части положительна. Отсюда следует:

Если на систему действует только одна сила или если сравниваются системы сил, изменяющиеся пропорционально одному параметру, из полученного неравенства находим:

Таким образом, предельная нагрузка, найденная по кинематическому методу, всегда больше истинной. Знак равенства возможен только тогда, когда кинематический метод дает точное решение, то есть когда кинематически возможное состояние является в то же время статически возможным.