ГЛАВА III. СЛОЖНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ

§ 33. Напряжения на косых площадках при растяжении.

В этой главе мы будем изучать общую теорию напряженного состояния и общие зависимости между напряжениями и деформациями в упругих телах, а также введем некоторые понятия, которые понадобятся в дальнейшем при изучении свойств тел пластических. Систематическое изложение этих вопросов дается в курсах теории упругости и пластичности, мы же изберем путь переходаотпростейших типов напряженных состояний к более сложным и ограничимся рассмотрением только тех свойств напряженного состояния, которые понадобятся, нам в дальнейшем.

Рис. 43.

Рассмотрим более подробно напряженное состояние при простом растяжении. Основное предположение здесь состоит в том, что в поперечных сечениях растянутого стержня существуют только равномерно распределенные нормальные напряжения, тогда как в продольных сечениях напряжения отсутствуют. Рассечем стержень плоскостью, наклонной по отношению к его оси (рис. 43). Пусть — единичный вектор нормали к плоскости сечения. Обозначим через а угол между вектором и осью стержня х. Отбросим верхнюю часть стержня и рассмотрим равновесие нижней, приложив в сечении равномерно распределенные усилия, мерой которых являются нормальное и касательное напряжения . Величины этих напряжений найдутся из условий равновесия оставшейся нижней части стержня. Прежде чем составлять эти условия, нам необходимо установить правило знаков, которое позволило бы фиксировать направления этих напряжений. Для нормальных напряжений такое правило уже было установлено: нормальное напряжение считается положительным, если оно растягивающее и соответствующий вектор направляется по внешней нормали к рассматриваемой части тела.

Для касательных напряжений мы установим совершенно условное правило знаков, а именно будем считать положительным, если вектор касательного напряжения образует правую систему с вектором внешней по отношению к рассматриваемому объему нормали к площадке. Иначе говоря, положительное направление X устанавливается по оси вспомогательной системы координат ось которой направляется по внешней нормали. Если площадь поперечного сечения стержня есть F, то площадь косого сечения

Составим уравнения равновесия для отрезанной части в проекциях на оси и . Получим:

Отсюда

На рис. 43 напряжения показаны отрицательными, при составлении уравнений равновесия мы считали их положительными, то есть направленными по оси , и получили в ответе знак минус.

Отметим некоторые свойства напряженного состояния при растяжении, вытекающие из этих формул: На двух взаимно перпендикулярных площадках сумма нормальных напряжений постоянна. Действительно, на площадке с нормалью , образующей угол с осью

Следовательно,

2) На перпендикулярных площадках касательные напряжения равны по величине и противоположны по знаку. Действительно, заменяя а в формуле для через получим:

3) Касательное напряжение достигает максимума в сеченни, составляющем угол 45° с осью. Это напряжение