§ 83. Высокоэластические деформации.

Каучук и каучукоподобные материалы способны к очень большим упругим деформациям, превышающим во много раз первоначальную длину. Такие деформации принято называть высокоэластическими (термины «эластичность» и «упругость» представляют собой синонимы). Природа упругости каучука и других высокополимерных материалов принципиально отличается от природы упругости металлов. Молекулы высокополимеров имеют форму цепей, образованных повторением одной и той же группы атомов, связанной валентными связями. Каждая связь допускает определенную кинематическую свободу, поэтому цепеобразная молекула связывается в клубок. Среднее расстояние между концами молекулы значительно меньше, чем ее длина в растянутом состоянии, если на тело не действуют внешние силы. Под действием силы молекулы вытягиваются, а после снятия нагрузки каждая из них стремится вернуться в исходное состояние, которое является наиболее вероятным.

Упругая энергия высокоэластичного тела может быть определена с большей или меньшей степенью точности на основе теоретических соображений молекулярной физики. Наиболее простое выражение энергии через кратности (см. § 81) будет следующее (Ривлин):

Для того чтобы определить напряжения, нам придется несколько видоизменить рассуждения предыдущего параграфа, поскольку речь идет о конечных деформациях. Рассмотрим элементарный объем, который до деформации был кубом с ребром, равным единице. После деформации стал параллелепипедом с ребрами (рис. 116). Силы, действующие на его грани, будут:

Работа этих сил на перемещениях равна

Сравнивая это выражение с полным дифференциалом функции а:

найдем:

Если упругая энергия выражается формулой (83.1), то

(83.2)

Большие упругие деформации материалов типа резины носят по преимуществу сдвиговой характер и сопровождаются лишь весьма малым изменением объема. С достаточной степенью точности можно считать, что изменение объема отсутствует. Для несжимаемого материала объем изображенного на рис. 116 параллелепипеда равен объему первоначального куба, то есть единице. Следовательно,

Рис. 116.

Если использовать условие несжимаемости (83.3) для упрощения формул (83.2), то окажется, что три напряжения выражаются через две деформации; исключая их, мы получим некоторое конечное соотношение между (а именно ), которое лишено физического смысла. Выход из противоречия заключается в том, что к системе напряжений , можно прибавить произвольное гидростатическое напряженное состояние с интенсивностью , от этого работа сил, действующих на грани параллелепипеда, не изменяется.

Действительно, заменив в выражении работы напряжения , одинаковой величиной мы получим:

в силу равенства (83.3) для несжимаемого материала. Прибавим величину к правой части каждого из равенств (83.2) и упростим первый член правой части, умножив в первом уравнении числитель и знаменатель на во втором — на и т. д. Получим:

Напряжения , отнесены к фактической площади деформированного сечения. Например, напряжение отнесено к площади грани, равной . В некоторых случаях бывает удобно относить напряжения к первоначальной площади поперечного сечения. Будем обозначать напряжения, отнесенные к первоначальной площади, черточкой над буквой. Тогда, очевидно,

Для несжимаемого материала, вследствие условия (83.3), эти соотношения можно переписать следующим образом:

Тогда из формул (83.4) следует:

Рассмотрим в качестве примера растяжение образца. При этом . Второе из уравнений (83.5) даст:

так как условие несжимаемости принимает вид: . Внесем найденное для выражение в первое из уравнений (83.5). Получим:

Это — уравнение кривой растяжения резины, полученное Уоллом. Оно описывает деформацию резины в первом приближении. Для получения более точных результатов необходимо брать вместо (83.1) более сложное выражение для упругой энергии.