§ 22. Перемещения узлов стержневых систем.

Стержни, работающие на растяжение — сжатие, часто соединяются в стержневые системы более или менее сложного вида.

Для того чтобы обеспечить возникновение только растягивающих и сжимающих напряжений, необходимо, чтобы соединения стержней в узле допускали свободный взаимный поворот стержней и чтобы силы прикладывались только в узлах. На рис. 16 была приведена схема простейшей фермы. Заклепочное соединение в узлах, строго говоря, не дает возможности свободного поворота концов стержней, поэтому в стержнях, кроме напряжений растяжения — сжатия, возникают напряжения изгиба. Однако эти напряжения невелики, и при расчете ими обычно пренебрегают. Желая рассчитать ферму, изображенную на рис. 16, мы заменяем действительные узлы идеальными шарнирами. После такой замены определение усилий в стержнях производится по способам статики, если ферма статически определима. Определив усилия в стержнях, мы вычисляем удлинения их, пользуясь формулой

Здесь I — номер стержня и все величины, относящиеся к данному стержню, отмечены индексом i.

На практике часто возникает вопрос о перемещении какого-нибудь узла фермы. При решении этого вопроса существенно упрощающим дело обстоятельством является малость деформаций отдельных стержней, а следовательно, и малость перемещений по сравнению с длинами стержней. Пренебрегая квадратом отношения перемещения к длине стержня по сравнению с единицей, покажем, что перемещение, перпендикулярное оси стержня, не связано с его удлинением. Действительно, пусть правый конец стержня (рис. 24) получает перпендикулярное его оси перемещение тогда как левый остается на месте.

Рис. 24.

Новая длина стержня:

Разлагая радикал по формуле Ньютона, получим:

Второй и следующий члены в скобке весьма малы по сравнению с единицей. Пренебрегая ими, получим:

Рассмотрим теперь пример, из которого ясен принцип определения перемещений. Кронштейн, схематически изображенный на рис. 25, нагружен на конце А силой Р, направленной вертикально вниз. По правилам статики определяем усилия в стержнях и вычисляем удлинения .

Чтобы определить пере мещение узла А, поступаем следующим образом. Предположим, что шарнир в точке А удален и стержни разъединены. Сохраняя направт ление стержней, дадим стержню 1 удлиниться на конец его перейдет в точку . Стержню 2 дадим укоротиться на конец его перейдет в точку .

Чтобы найти новое положение узла А, повернем теперь стержни так, чтобы концы их совпали в точке пересечения описанных концами стержней при их вращении около неподвижных шарниров. Отрезок есть искомое перемещение. Обычно бывает нужно знать не а его проекции на вертикальное и горизонтальное направления. Определение перемещения или его проекций составляет довольно трудную задачу геометрии, хотя и элементарной. Необходимость решать треугольники, образованные дугами окружности, весьма неприятна. Однако, поскольку удлинение и перемещения малы, вместо того чтобы двигать концы стержней по дугам окружностей, можно перемещать их по перпендикулярам к осям стержней. Соответствующее построение показано на том же чертеже и дает новое положение узла А. Такая замена дуг окружностей перпендикулярами означает, что мы как бы дополнительно деформируем стержни, но эта дополнительная деформация имеет порядок . тогда как порядок величины основной деформации есть .

Рис. 25 страдает одной несообразностью: в нем использованы разные масштабы для изображения стержней и их перемещений. На чертеже, например, составляет примерно одну пятую от на самом же деле величина порядка .

Рис. 25.

Поэтому вся картина перемещений узла является грубо искаженной, дуги окружностей на глаз существенно отличаются от перпендикуляров и точки и А довольно далеки одна от другой. Чтобы избежать этой несообразности и не затемнять основного чертежа, все построения для нахождения точки А выполняют в другом масштабе отдельно, как показано на том же чертеже внизу. От некоторой точки, изображающей точку А, в произвольном масштабе, отличном от масштаба основного чертежа, откладываются отрезки параллельно соответствующим стержням.

Из концов этих отрезков восставляют к ним перпендикуляры, точка пересечения их есть . Если бы к этой диаграмме мы пристроили стержни в том же масштабе, неподвижные шарниры оказались бы очень далеко за пределами страницы книги, и дуги окружностей весьма большого радиуса были бы практически неотличимы от перпендикуляров.

Пример. Рассмотрим систему из двух стержней, составляющих углы с вертикалью. Пусть под действием нагрузки стержни получают удлинения Требуется определить вертикальную и горизонтальную составляющие перемещения точки А (рис. 26).

Рис. 26.

Построим отдельно диаграмму перемещений (черточками отмечены параллельные отрезки). Спроектируем ломаную АВА на направления стержней. Получим:

Отсюда находим: