§ 96. Общие теоремы о моментах.
Остановимся на некоторых основных и очевидных свойствах статических моментов и моментов инерцни. При перечислении этих свойств мы будем употреблять просто слово «момент» в тех случаях, когда речь идет о свойстве, общем для всех моментов. В противном случае будет указываться, о каком моменте идет речь.
Теорема 1. Момент составной площади равен сумме моментов ее частей.
Действительно, если фигура состоит из двух частей I и II, то по свойству интегралов
Но 
есть момент всей площади, интегралы в правой части суть моменты того же наименования частей I и II. Следовательно,
Следствие. При вычислении момента площади, ограниченной двумя замкнутыми контурами (двухсвязной), можно вычислить момент, площади, ограниченной наружным контуром, и вычесть из него момент площади, ограниченной внутренним контуром (рис. 138). Действительно, момент 
площади, заключенной внутри контура 
равен по предыдущему сумме момента 
площади, ограниченной кривой 
, и момента J заштрихованной части:
Отсюда
Этим замечанием часто пользуются при вычислении моментов инерции.
Теорема 2. Осевые моменты инерции двух равных фигур, симметрично расположенных относительно оси, равны между собою.
Площади фигур I к II (рис. 139) можно разбить на бесконечно малые элементы так, что каждому элементу 
соответствует
Рис. 138.
Рис. 139.
равный элемент 
причем ординаты их одинаковы, а абсциссы равны и противоположны по знаку:
Момент инерции первой фигуры относительно оси у:
Второй фигуры:
Но 
. Поэтому
Теорема 3. Центробежные моменты двух равных фигур, симметрично расположенных относительно оси, равны по величине и противоположны по знаку.
Обращаясь к рис. 139 и полагая
заметим, что
Поэтому
Следствие. Центробежный момент инерции равен нулю, если одна из осей есть ось симметрии. Пусть, например, осью симметрии является ось у. Она разбивает фигуру на две равные части I и II, симметрично расположенные относительно этой оси. По первой теореме
Вследствие третьей теоремы
Таким образом,
Определение. Оси, для которых центробежный момент равен нулю, называются главными осями инерции. Мы установили, что симметрия фигуры относительно одной из осей является достаточным условием того, что оси главные. Но это условие не необходимо; мы увидим в дальнейшем, что у несимметричных фигур тоже существуют главные оси.
