§ 43. Изменение объема при упругой деформации.

Упругая деформация вообще сопровождается изменением объема. Так, объем изображенного на рис. 52 параллелепипеда до деформации есть

В результате деформации ребра параллелепипеда стали и новый объем . При этом

Разделим левую и правую части этого уравнения на и перенесем единицу из левой части в правую. Получим:

Это — формула для относительного изменения объема, выражающая указанное изменение через относительные удлинения в направлениях главных осей, так называемые главные деформации. Поскольку деформации малы по сравнению с единицей, то, выполняя перемножение трех скобок в правой части (43.1), мы сохраним только первые степени деформаций, отбросив их произведения, члены второго и третьего порядка малости. Таким образом, для малых деформаций

Желая связать относительное изменение объема с напряжениями, сложим три уравнения (42.1). Получим:

Вспоминая обозначение

напишем;

Величина

называется модулем объемной деформации. Формулу для относительного изменения объема можно переписать так:

Заметим, что если то . Такой материал несжимаем, объем его при деформации не меняется. Величина модуля объемной деформации всегда положительна, поэтому коэффициент Пуассона не может быть больше половины.

Существование материала, для которого , противоречило бы закону сохранения энергии. Действительно, представим себе цилиндрический сосуд с поршнем, куда налита несжимаемая жидкость и положен кусок материала, для которого следовательно, К отрицательно. Прикладывая силу к поршню, мы создаем в теле равномерное сжатие или отрицательные напряжения; по формуле (43.4) изменение объема будет положительно, объем увеличится и поршень поднимется, произведя отрицательную работу.