Главная > Сопротивление материалов (Работнов Ю.Н.)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 173. Формула и способ Релея.

Определение собственных частот колебаний упругой системы становится чрезвычайно затруднительным тогда, когда число степеней свободы велико и уравнение частот имеет высокий порядок. Уже развертывание определителя требует большого труда, не говоря о нахождении корней уравнения частот. В то же время для приложений достаточно знать наименьшую, первую частоту, так называемую частоту основного тона. Ее можно найти с достаточной для практики точностью, пользуясь приближенным методом Релея.

Выпишем уравнение (170.7):

Умножим это уравнение на и просуммируем по индексу i, шосле чего найдем из получившегося уравнения:

Если то по формуле (173.1) мы получим для точное значение если — произвольное число, то для по этой формуле получится некоторая величина, вообще говоря не являющаяся частотой каких-либо колебаний системы. Но если то выполняются уравнений, следующих из (170.7):

(173.2)

Представим теперь произвольную конфигурацию системы размещением ее по главным формам: .

Внесем это выражение в числитель формулы (173.1). Получим:

Переменим порядок суммирования, выделив сначала сумму По формуле (173.2) эта сумма равна . Теперь мы можем выделить сумму которая равна нулю при и равна единице при Таким образом, мы получим:

Преобразуем теперь знаменатель формулы (173.1):

Меняя опять порядок суммирования, найдем:

Таким образом, формула (173.1) может быть переписана так:

Так как то каждый член числителя больше соответствующего члена знаменателя и мы получаем неравенство или же

где — произвольные числа. Знак равенства возможен только тогда, когда то есть конфигурация системы в точности соответствует первой главной форме.

Неравенство, устанавливаемое формулой (173.3), и является содержанием теоремы Релея.

Задаваясь совокупностью амплитуд которая, на наш взгляд, близка к первой главной форме колебаний, мы находим по формуле (173.3) приближенное значение квадрата первой собственной частоты. Заметим, что числитель в формуле (173.3) представляет собою удвоенную потенциальную энергию системы при перемещениях знаменатель же представляет удвоенную кинетическую энергию, вычисленную в предположении, что скорости равны перемещениям. Особенно простым становится применение формулы (173.3) тогда, когда совокупность величин представлена как совокупность перемещений от действующих на систему сил .

Тогда потенциальную энергию можно вычислить по теореме Клапейрона. Обозначая перемещения от сил через перепишем формулу Релея следующим образом:

(173.4)

В числителе суммирование идет по тем точкам, где приложены силы, в знаменателе — по точкам, где сосредоточены грузы.

Обратимся к примеру § 171 и вычислим для рассмотренной там системы первую частоту свободных колебаний приближенно, по формуле Релея. Сначала зададимся формой кривой прогиба, соответствующей одной силе Q, приложенной посередине. При этом

По формуле (173.4)

Разница с точным решением составляет всего 0,8%. Если взять за форму прогиба упругую линию балки, нагруженной тремя одинаковыми силами в точках 1,2, 3, то есть статическую кривую прогиба балки от собственного веса, то три знака приближенного решения совпадают с точным.

1
Оглавление
email@scask.ru