ГЛАВА VII. КРУЧЕНИЕ
§ 87. Кручение стержней круглого сечеиия.
Кручением называют напряженное состояние в стержне, находящемся под действием моментов, направленных по его оси. Общая теория кручения принадлежит математической теории упругости и не может быть построена элементарным путем. Поэтому мы ограничиваемся здесь результатами, относящимися к стержням круглого сечения и тонкостенным стержням. Данные о кручении стержней иного профиля приводятся без доказательств.
В основу теории кручения круглого стержня положим следующие предположения:
1. В поперечных сечениях стержня не возникает иных напряжений, кроме касательных.
2. Поперечные сечения поворачиваются без искривления радиусов, оставаясь плоскими.
Рис. 120.
Выделим из стержня трубку с внутренним радиусом q и бесконечно малой толщиной 
(рис. 120). Касательные напряжения в поперечном сечении этой трубки можно считать распределенными равномерно. Возьмем два бесконечно близких сечения на расстоянии 
Вследствие закручивания они повернутся одно относительно другого на угол 
, здесь 
— погонный угол закручивания трубки, или угол закручивания на единицу длины. Бесконечно малый элемент 
претерпит сдвиг, причем 
. Но 
, поэтому
Прибегая к формуле Гука для касательных напряжений, найдем величину 
:
Вследствие второй гипотезы для всех трубок, из которых можно мыслить составленным стержень, величина 
является одной и той же. Таким образом, касательные напряжения в сечениях изменяются пропорционально расстоянию от оси.
Рассмотрим теперь равновесие части стержня, мысленно от него отсеченной (рис. 121). На элемент 
отстоящий на расстояние Q от центра, действует напряжение 
следовательно, элементарный момент в правом сечении будет
Рис. 121.
Составляя условие равновесия моментов относительно оси стержня (М — величина момента, приложенного в левом сечении), получим:
Распространенный по площади интеграл от 
носит название полярного момента инерции и обозначается
Для вычисления 
заметим, что в полярных координатах 
поэтому
В технике обычно предпочитают иметь дело не с радиусом стержня, а с его диаметром d и записывают формулу для полярного момента инерции так:
Итак, мы нашли:
Отсюда основная формула для погонного (на единицу длины) угла закручивания:
Подставляя найденное выражение О в формулу (87.1) для 
, получим вторую основную формулу теории кручения круглых стержней:
Следует отметить, что гипотезы и весь вывод сохраняют силу также для стержня круглого трубчатого сечения. Единственная разница будет состоять в том, что при вычислении полярного момента инерции интеграл придется брать по площади кольца. Если наружный диаметр полого стержня есть d, а внутренний 
то, очевидно,
Величина наибольшего касательного напряжения при крученин найдется по формуле (87.5), если принять в ней 
Соответствующую формулу пишут обычно так:
Величина 
называется полярным моментом сопротивления. Для сплошного цилиндра
для полого цилиндра
Расчет на прочность по допускаемым напряжениям при крученин сводится к обеспечению неравенства
Величина допускаемого напряжения при кручении 
для пластических материалов должна быть принята согласно гипотезе октаэдрического напряжения равной 
, а согласно условию Треска равной 
