§ 144. Упругое состояние трубы. Формулы Ламе.

Задача об упругом состоянии толстостенной трубы — это одна из первых задач теории упругости, которая была решена еще Ламе (1828 г.). Напишем уравнения закона Гука:

Из последнего уравнения

(144.1)

Исключим из первого уравнения:

Аналогично

Уравнение равновесия (143.1) будет удовлетворено тождественно, если принять

Функция называется функцией напряжений. По формулам (144.2) и (144.2)

(144.3)

Таким образом, деформации также выражены через функцию напряжений и неизвестную пока константу . Внесем выражения по формулам (144.3) в уравнение совместности деформаций (143.6). Получим после сокращений

Для интегрирования этого дифференциального уравнения положим и подставим это выражение для F в (144.4). После сокращения придем к следующему алгебраическому уравнению для показателя :

Корни этого уравнения поэтому общий интеграл уравнения (144.4) может быть написан в виде

где А и В — постоянные интегрирования.

Напряжения выразятся следующим образом:

Это и есть формулы Ламе для напряжений в толстостенной трубе. Постоянные интегрирования должны быть определены из граничных условий. Пусть внутренний радиус трубы есть а, наружный радиус . Внутреннее давление равно , наружное равно нулю. Это значит, что радиальное напряжение равно при и равно нулю при . По первой из формул (144.5)

Отсюда находим постоянные А и В:

Окончательные формулы для напряжений получаются следующими:

На рис. 223 показаны графики (эпюры) распределения напряжений по толщине стенки.

Рис. 223.

Напряжение определится теперь по формуле

(144.7)

Оказывается, что постоянно по толщине стенки. Равнодействующую внутренних сил в поперечном сечении мы обозначим через Р, это сила, растягивающая или сжимающая трубу. Если труба закрыта по концам, растягивающая сила равна давлению на дно, площадь которого есть . Следовательно, . Площадь поперечного сечения трубы равна . Таким образом,

Сравнивая (144.7) и (144.8), можем найти относительное удлинение . Если материал трубы несжимаем, .

В открытой по концам трубе (например, ствол орудия во время выстрела) поэтому