§ 38. Пространственное напряженное состояние.
Плоское напряженное состояние наиболее часто встречается на практике и поэтому представляет наибольший интерес для приложений.
Однако это всего лишь частный случай, и нам необходимо рассмотреть общий случай, когда нельзя заранее указать свободные от напряжений плоскости. Исследование общего случая, с другой стороны, дополнит и наши знания о плоском напряженном состоянии, потому что там существуют напряжения на площадках, пересекающих ось z под углом, отличным от прямого. Для нахождения этих напряжений изложенная выше теория непригодна.
Рис. 48.
Рассмотрим мысленно вырезанный из напряженного тела параллелепипед, ребра которого ориентированы по координатным осям. Измерения его могут быть конечны, если напряженное состояние однородно, и бесконечно малы, если оно неоднородно.
Вектор напряжения, действующий на площадке с нормалью х, представим следующим образом:
Аналогично
Составляющие этих трех векторов изображены на рис. 48. Как видно, 
суть нормальные напряжения, 
— касательные. Первый индекс в обозначении касательного напряжения указывает на ту площадку, к которой оно приложено. Площадка обозначается той же буквой, что и нормаль к площадке. Второй индекс — это направление касательного напряжения по соответствующей оси координат. На противоположных гранях, не видных на чертеже, действуют точно такие же напряжения, но направленные в противоположные стороны. Составляя условия равенства нулю моментов относительно осей координат, найдем, что 
Это есть следствие закона парности касательных напряжений (§ 10).
Совокупность шести величин, образующих симметричную матрицу, называется тензором напряжений:
Величины 
суть компоненты тензора в осях х, у, z.
Покажем, что задание шести компонент тензора напряжений полностью определяет напряженное состояние, то есть позволяет вычислить вектор напряжения на любой площадке. Пусть площадка задана нормалью 
.
Рассмотрим тетраэдр, ограниченный площадкой и тремя координатными плоскостями. Если площадь грани, имеющей нормаль 
, есть F (рис. 49), то грань, принадлежащая плоскости 
имеет площадь 
Здесь 
— косинус угла между вектором 
и осью х. Аналогично
Рис. 49.
На площадку 
действует напряжение
Сила, действующая на эту площадку, есть 
. Аналогично на другие грани тетраэдра действуют силы
Приравнивая сумму всех сил нулю и сокращая F, получим:
Это векторное равенство эквивалентно трем скалярным:
Таким образом, мы определили вектор напряжения на произвольной площадке, что и доказывает высказанное утверждение.
