§ 198. Критическое время сжатого стержня.
Сжатый стержень, имеющий начальное искривление, будет выпучиваться вследствие ползучести. Изгибающий момент в сечении пропорционален прогибу стержня, а скорость изменения кривизны зависит от изгибающего момента, как мы видели, нелинейным образом, притом очень сильно. В результате оказывается, что скорость прогиба увеличивается с ростом прогиба настолько быстро, что прогиб достигает бесконечно большого значения за конечное время, называемое критическим временем. Конечно, достижение прогибом бесконечно большого значения нужно понимать в условном смысле, так же как в теории продольнопоперечного изгиба упругих стержней. Мы будем пользоваться упрощенным линеаризированным выражением для кривизны, которое для больших прогибов несправедливо, и стремление к бесконечности решения дифференциального уравнения еще не означает, что прогиб реального стержня ведет себя таким же образом. Приводимый ниже анализ имеет целью не столько определить критическое время для реального стержня из реального материала, сколько убедиться в том, что оно действительно существует, и выяснить, от каких факторов и каким образом может зависеть его величина.
Будем рассматривать стержень идеального двутаврового сечения, изображенного на рис. 301, шарнирно опертый на концах; длина стержня равна 
.
Площадь каждой полки есть 
размеры полок малы по сравнению с h, так что напряжение в каждой полке можно считать равномерно распределенным. Площадь стенки считается весьма малой и не принимается во внимание, функция ее состоит только в том, чтобы воспринять касательные напряжения и тем самым обеспечить работу полок как одного целого. Напряжение равномерного сжатия от силы Р равно 
если прогиб стержня есть v, то изгибающий момент равен 
этот момент создает в одной из полок дополнительные сжимающие напряжения, в другой — растягивающие. Величина этих напряжений равна 
. Таким образом, суммарное напряжение в каждой из полок
Рис. 301.
Введем безразмерный прогиб 
тогда
Скорость изменения кривизны изогнутой оси есть 
где штрихи обозначают дифференцирование по х, а точка дифференцирование по t. Скорость деформации каждой полки
Введем безразмерную координату тогда
Таким образом.
Примем зависимость скорости ползучести от напряжения по закону гиперболического синуса:
Эта формула сохраняет силу для любых значений а, положительных и отрицательных, так как гиперболический синус есть нечетная функция.
Напишем теперь уравнение ползучести для каждой полки в отдельности:
Вычтем из первого уравнения второе. Получим
(198.1)
Уравнение (198.1) является нелинейным уравнением в частных производных, точное интегрирование которого невозможно. Для приближенного интегрирования положим
(198.2)
Предполагаемая форма прогиба является синусоидой, при этом на длине балки укладывается половина волны. Выражение (198.2) не удовлетворяет дифференциальному уравнению, мы ограничимся тем, что потребуем выполнения этого уравнения в середине балки, при 
Получим:
Заметим, что для идеального двутаврового сечения момент инерции 
, поэтому множитель, стоящий перед а в левой части представляет собою деформацию сжатия от нагрузки, равной эйлеровой критической силе. Обозначим эту деформацию 
. Положим 
. Тогда дифференциальное уравнение перепишется следующим образом:
Интеграл от левой части есть 
; интегрируем ее в пределах от 
до 
а правую в пределах от нуля до U. Получим:
Это выражение можно немного упростить. Для малых 
для больших 
, но 
есть скорость ползучести при сжатии силой Р. Обозначим ее 
. Возвращаясь к первоначальным обозначениям, получим следующую формулу для критического времени:
Как видно, критическое время зависит от начального прогиба стержня 
но зависимость эта не сильная.
Принимая в качестве 
предельное значение допуска на непрямолинейность стержня, мы получим всегда нижнюю оценку для критического времени.
Существуют методы определения критического времени сжатых стержней при других законах ползучести и для более реальных форм поперечного сечения; они приводят к тем же качественным результатам, но требуют, как правило, громоздкого численного интегрирования соответствующих уравнений.
