§ 117. Пределы применимости приближенной теории.
Чтобы выяснить степень точности приближенного уравнения (116.4), сравним результат его решения с результатом решения точного уравнения (116.3) в случае, когда последнее не сложно. Пусть балка длины 
нагружена на конце моментом М (рис. 172). Изгибающий момент всюду постоянен и равен М. Пользуясь точным уравнением (116.3) или лучше (116.1), найдем, что радиус кривизны постоянен и прогиб на конце
Рис. 172.
Разложим косинус в ряд, ограничившись тремя его членами:
Для 
получим следующее выражение:
или
Решим теперь ту же задачу с помощью уравнения (116.4). Интегрируя два раза, найдем:
Но 
, так как при 
. Поэтому прогиб по приближенной теории есть
Теперь можно представить точное значение прогиба следующим образом:
Относительная погрешность вычисления прогиба по приближенной теории:
Предположим теперь, что мы при определении прогиба удовлетворяемся точностью в 3%. Большая точность не нужна, так как модуль упругости обычно известен с меньшей точностью. Полагая
получим:
Таким образом, уравнение (116.4) дает достаточную точность даже тогда, когда прогиб составляет 30% длины. Такие большие прогибы возможны у очень тонких балок. Действительно,
Обозначив через А расстояние от оси до крайней точки сечения балки, получим:
Отсюда
Подставляя в (117.5), получим:
Отсюда
Примем для стали
Тогда
Только если отношение 
больше шестисот, погрешность приближенного уравнения (116.4) может превысить 3%. Как видно, это перекрывает все практические потребности. Исключение, может быть, составляют случаи расчета пружин.
