§ 20. Собственный вес и силы инерции.

Предыдущие формулы относятся к стержням постоянного сечения, нагруженным силами на концах. Может случиться, что силы распределены непрерывным образом по поверхности или объему стержня. Так, например, замурованный в стену стержень, если вытягивать его за конец, встречает сопротивление со стороны скрепляющего его со стеной цемента по всей поверхности заделки. Пример распределенной по объему силы — это сила тяжести. При рассмотрении динамических задач о напряжениях в движущихся стержнях можно, согласно принципу Даламбера, вводить непрерывно распределенные по объему силы инерции. Во многих случаях ввиду малости деформаций достаточно определять кинематические элементы движения так, как если бы тело было абсолютно жестким. Таким образом ускорения, а следовательно, и силы инерции могут быть найдены заранее. Способ решения таких задач, которые можно назвать квазистатическими, ничем не отличается от способа решения статических задач сопротивления материалов. Специфика динамических задач обнаруживается тогда, когда нельзя пренебречь силами инерции, происходящими от движения, связанного с деформацией. Таковы, например, задачи о колебаниях стержней и о действии ударной нагрузки.

Рассмотрим некоторые примеры статических задач с распределенными внешними силами.

а) Напряжения и деформации от собственного веса. Рассмотрим стержень, подвешенный за верхний конец и растягиваемый собственным весом (рис. 20). Отсекая мысленно часть стержня на расстоянии х от нижнего конца, приложим в сечении равномерно распределенные силы с интенсивностью , которые уравновешивают вес части стержня, имеющей длину х. Уравнение равновесия будет

Здесь — удельный вес материала стержня, F — площадь поперечного сечения.

Отсюда

На рис. 20 (слева) построен график, или так называемая эпюра напряжений, которая изображает изменение напряжений в зависимости от координаты сечения х.

Рис. 20.

Наибольшее напряжение получается в верхнем сечении:

Вследствие растяжения каждое сечение стержня перемещается вниз на величину и. Очевидно, что перемещение сечения с координатой х равно удлинению той части стержня, которая расположена выше этого, сечения. Для подсчета его выделим бесконечно малый элемент с координатой . Действующее напряжение есть следовательно, удлинение элемента

Перемещение и найдем, просуммировав удлинения всех элементов, на которые можно разбить верхнюю часть стержня:

Выполнив интегрирование, получим:

Эпюра перемещений представляет собою параболу, она изображена на рис. 20 (справа). Полное удлинение стержня есть

Заметив, что полный вес стержня перепишем эту формулу так:

Итак, стержень вытягивается под действием собственного веса так, как если бы он был невесом и растягивался сосредоточенной силой, приложенной на конце и равной половине веса стержня.

Для металлических конструкций напряжения и деформации от собственного веса обычно незначительны, и с ними можно не считаться, за исключением особых случаев (например, расчет канатов шахтных подъемников или буровых штанг). В бетонных и каменных сооружениях, для которых допускаемые напряжения низки, напряжения от собственного веса существенны и часто являются главными.

б) Вращающийся стержень. Совершенно аналогично решается вопрос о напряжениях в стержне с площадью поперечного сечения F, вращающемся с угловой скоростью со около оси z, перпендикулярной оси стержня (рис. 21).

Рис.

Мысленно отрезая кусок стержня на расстоянии х от оси, составляем для него уравнение равновесия. Центробежная сила Р этого куска длиной равна

Приравнивая ее внутренней силе в сечении найдем:

Наибольшее напряжение будет в том сечении, которое проходит через ось вращения:

Здесь через v обозначена окружная скорость конца стержня. Таким образом, для каждого материала может быть допущена определенная скорость вращения стержня, зависящая от допускаемого напряжения и удельного веса материала.

в) Напряжения в склейке. Полоска из упругого материала толщиной h приклеена к жесткому основанию, как показано на рис. 22. От действия силы Р в полоске возникает напряжение . Касательные напряжения в слое клея уравновешивают силу Р. Сделаем предположение о том, что касательное напряжение в склейке пропорционально относительному смещению склеенных элементов. Сечение с координатой х получает горизонтальное перемещение в, сечение с координатой получает перемещение и и согласно Сделанной гипотезе:

Здесь k — коэффициент пропорциональности, зависящий от толщины слоя клея и его физических свойств.

Рассмотрим теперь равновесие элемента, выделенного сечениями . Если напряжение в левом сечении есть а, то напряжение в правом сечении есть . Будем считать ширину полоски равной единице, тогда площадь ее сечения есть h и разница сил в сечениях равна

Рис. 22.

Эта сила уравновешийается касательным напряжением t на площади склейки, равной . Таким образом,

или

Заметим, что есть абсолютному длинение отрезка , следовательно, его относительное удлинение и по закону Гука

Внесем в уравнение равновесия выражения для и для . Получим:

Введем обозначение перепишем дифференциальное уравнение следующим образом:

Общий интеграл его:

Граничные условия будут следующие: при при но о пропорционально первой производной от , следовательно,

Кроме того,

Из первого граничного условия следует, что из второго , поэтому

Оказывается, что касательное напряжение в склейке распределено по длине неравномерно.

Рассмотрим два крайних случая. Пусть в первом случае материал полоски будет весьма жестким, а склейка очень податливой, Е велико, тогда как k мало, следовательно, а мало, . Мы получаем равномерное распределение касательных усилий в склейке. Второй случай — это тот, когда клей очень жесткий, а полоска податливая, следовательно, а велико. Наибольшее касательное напряжение будет при но при больших отношение следовательно,

Это касательное напряжение не зависит от длины ; таким образом, увеличивать длину приклейки l бесполезно.