§ 114. Изгиб кривого бруса.

Если ось стержня криволинейна, но размеры поперечного сечения малы по сравнению с радиусом кривизны, то для расчета можно пользоваться теми же формулами, что и для прямого стержня. Когда размеры сечения сравнимы с радиусом кривизны, влияние кривизны существенно сказывается на распределении напряжений. При рассмотрении задачи об изгибе стержня значительной кривизны мы ограничимся тем частным случаем, когда ось является дугой окружности, сечение симметрично относительно плоскости оси и изгибающие силы действуют в этой плоскости. В основу расчета положим две гипотезы:

1. Плоские сечения, перпендикулярные оси стержня, остаются плоскими и перпендикулярными изогнутой оси после деформации.

2. Цилиндрические поверхности, ось которых проходит через центр кривизны и перпендикулярна плоскости оси стержня, свободны от напряжений.

Первая гипотеза выполняется совершенно точно в случае чистого изгиба, то есть изгиба парой сил. Вторая гипотеза означает, что круговые волокна, на которые можно мысленно разделить стержень, не взаимодействуют между собой.

Это явно невозможно: растянутое криволинейное волокно будет в равновесии только за счет реакции соседних волокон, его можно уподобить изображенной на рис. 168 веревке, перекинутой через цилиндр. Натягивая концы веревки, мы вызываем давление ее на цилиндр.

Точное решение задачи об изгибе кривого бруса с круговой осью прямоугольного поперечного сечения дано Головиным (1880 г.).

Приближенное решение, излагаемое ниже, пригодно для всех форм поперечных сечений, а для прямоугольного сечения весьма мало отличается от решения Головина. Обращаясь к рис. 169, где изображены два бесконечно близких сечения до и после деформации, найдем, что удлинение ли волокна, находящегося на расстоянии от нейтральной оси, есть Здесь — угол поворота одного сечения относительно другого. Первоначальная длина этого волокна Поэтому относительное удлинение есть

Заметим, что , радиус нейтральной поверхности, то есть цилиндрической поверхности, являющейся геометрическим местом нейтральных осей сечений, заранее неизвестен.

Рис. 168.

Рис. 169.

Рис. 170.

Вследствие второй гипотезы волокно испытывает только продольные напряженяя, поэтому закон Гука дает:

(114.1)

Примем за оси х и у центральные оси сечения, направим ось z по нормали к сечению и составим уравнение проекций всех сил на ось z (рис. 170).

В случае чистого изгиба сюда войдут только внутренние силы и мы получим:

Отсюда

Формула (114.2) послужит в дальнейшем для нахождения положения нейтральной оси. Пока заметим, что если Q велико по сравнению с размерами сечения, то величиной г) можно пренебречь в знаменателе и мы получим:

Следовательно, в этом случае нейтральная ось пройдет через центр тяжести.

Вообще нейтральная ось смещена относительно центра тяжести. Величину этого смещения мы будем обозначать через е. Составим теперь уравнение моментов относительно нейтральной оси. Получим:

Но

Второй интеграл равеи иулю вследствие формулы (114.2), первый же интеграл есть статический момент площади сечения относительно нейтральной оси:

Приняв это во внимание, получим из уравнения (114.3)

Подставляя найденное значение и формулу (114.1), получим:

(114.4)

Это и есть основная формула для нахождения нормальных напряжений при чистом изгибе кривого бруса. Если изгиб создается силами, которые растягивают или сжимают сечение, а также вызывают в нем касательные напряжения, то формула (114.4) дает важнейшую часть напряжений.

Эпюра распределения напряжений в сечении оказывается уже не прямой, как в стержне с прямолинейной осью, а гиперболой.

Для пользования формулой (114.4) нам не хватает одного: мы пока еще не знаем положения нейтральной оси.