§ 139. Потеря устойчивости за пределом упругости.

Формула Эйлера для критической силы (138.6), очевидно, применима только тогда, когда материал следует закону Гука. Однако может случиться, что сила, определенная по формуле Эйлера, вызывает в материале сжимающие напряжения, превышающие предел пропорциональности. Этим, в частности, объясняется плохое совпадение с опытом, обнаруженное в ранних экспериментах по проверке эйлеровой теории устойчивости. Чтобы судить о пределах применимости формулы Эйлера, придадим ей несколько иной вид. Для этого разделим обе части формулы (138.6) на площадь поперечного сечения стержня F. Слева мы получим критическое напряжение Величина представляет собою квадрат радиуса инерции i сечения (см. § 110).

Введем безразмерную величину Я, называемую гибкостью стержня:

Формула Эйлера перепишется следующим образом:

(139.1)

Для длинных и тонких стержней Я велико, следовательно, критическое напряжение мало. Предельным для применения формулы (139.1) случаем будет тот, когда <тк равно пределу пропорциональности . Формула (139.1) справедлива тогда, когда

Так, например, для малоуглеродистой стали при предельное значение равно приблизительно 100.

У более коротких стержней потеря устойчивости происходит при напряжениях, превосходящих предел пропорциональности, то есть в пластической области. Состояние пластического тела, в отличие от состояния упругого тела, зависит не только от мгновенных значений нагрузок, но и от порядка их приложения. Поэтому, если для упругого стержня возможна лишь единственная постановка вопроса устойчивости и сила Эйлера является единственной критической силой, в пластической области возможны различные определения неустойчивости и, следовательно, различные критические силы.

Первые решения задачи об устойчивости сжатого стержня за пределом пропорциональности (Энгессер, Ясинский, Карман) относятся к следующей постановке. Стержень нагружается центральной сжимающей силой, принимаются меры для того, чтобы не произошло выпучивания в процессе нагружения. Когда сила достигает значения Р, она удерживается постоянной и стержню сообщается малый прогиб. Равновесие стержня под действием силы Р устойчиво, если этот прогиб исчезает после устранения вызвавшей его причины, и неустойчиво, если прогиб увеличивается до тех пор, пока не установится новая форма равновесия стержня с искривленной осью. Приближенное исследование, основанное на линеаризированном уравнении изгиба, по существу не позволяет решать вопрос об устойчивости или неустойчивости какой-либо формы равновесия, это исследование дает возможность найти такое значение нагрузки, при котором равновесие является безразличным. Именно этой задачей было фактически заменено исследование устойчивости упругого стержня в § 136.

Итак, предположим, что сжимающее напряжение в стержне есть . Будем считать, вопреки обыкновению, сжимающие напряжения положительными. Предположим теперь, что стержень изогнулся.

Рассматривая потерю устойчивости по отношению к малым возмущениям, введем в рассмотрение изменение напряжения . Так как величина сжимающей силы при потере устойчивости остается неизменной по предположению, то в одной части сечения будет , в другой . Там, где мы двигаемся вверх по диаграмме сжатия (рис. 213). Если достаточно мало, элемент дуги можно заменить элементом касательной и принять.

(139.2)

Здесь — касательный модуль

В области, где , происходит разгрузка и зависимость между приращением напряжения и приращением деформации изображается прямой, параллельной начальномуг упругому участку диаграммы (рис. 213). Поэтому здесь

Рис. 213.

Будем предполагать сечение симметричным (рис. 214) относительно плоскости наименьшей жесткости. Считаем, что при потере устойчивости справедлив закон плоских сечений; поэтому , где - расстояние точки, принадлежащей сечению, от нейтральной оси , положение которой заранее неизвестно.

Рис. 214.

Так как сжимающая сила при потере устойчивости по предположению остается постоянной, то

(139.4)

Ось делит сечение на две части, в одной из этих частей справедливо соотношение (139.2), в другой — соотношение (139.3) между . Разобьем интеграл в условии (139.4) соответственно с этим на два интеграла, заменим в них через и воспользуемся законом плоских сеченнй. Получим:

или

(139.5)

Здесь - статические моменты площадей относительно оси (оба считаются положительными).

Вычислим теперь момент относительно оси , создаваемый дополнительными напряжениями :

(139.6)

Здесь — моменты инерции площадей , относительно оси . Формула (139.6) выражает зависимость между изгибающим моментом и кривизной. В упругой области эта зависимость дается следующим соотношением:

(139.7)

Здесь Е — модуль упругости, — момент инерции относительно центральной оси . Перепишем формулу (139.6) таким образом, чтобы она выглядела анологично вышеприведенной, а именно:

(139.8)

Величина К называется приведенным моментом или модулем Кармана, при этом

(139.9)

Как видно, приведенный модуль зависит не только от материала, но и от формы поперечного сечения. Теперь можно рассматривать потерю устойчивости сжатого стержня совершенно так же, как потерю устойчивости в упругой области (§ 136). В дифференциальном уравнении изгиба (136.1), полученном на основе соотношения (139.7) между моментом и кривизной, в соответствии с (139.8) нужно будет заменить модуль упругости Е модулем Кармана К. В результате для критического напряжения вместо формулы (139.1) получается следующая:

(139.10)

Величина зависит от положения точки на диаграмме сжатия, следовательно, от напряжения . Таким образом, приведенный модуль К является также функцией <тк; эта величина находится в результате решения уравнения (139.10).

Вычислим приведенный модуль для прямоугольного сечения с высотой h и шириной . Пусть высота зону догрузки будет высота зоны разгрузки (Рис. 215). Тогда

Рис. 215.

Подставляя эти выражения в уравнение (139.5), получим:

Отсюда следует:

Момент инерции всего сечения относительно оси х равен , моменты инерции частей сечения относительно оси

По формуле (139.9) модуль Кармана

Подставив сюда значение ?, найдем: