§ 49. Потенциальная энергия упругой деформации.

Для тела, находящегося в условиях сложного напряженного состояния, можно подсчитать величину накопленной упругой энергии совершенно таким же способом, как это делалось для случая растяжения — сжатия (§ 28). Предположим напряженное состояние однородным и рассмотрим куб, ребра которого ориентированы по главным осям и длина каждого ребра равна единице длины. Тогда площадь каждой грани равна единице площади, а объем — единице объема. Напряжения , представляют собою действующие на грани силы, эти силы совершают работу на перемещениях, равных деформациям . Предположим, что напряжения растут постепенно, в каждый момент процесса нагружения действующие напряжения равны . Здесь — параметр, меняющийся от нуля до единицы; когда становится равным единице, процесс нагружения заканчивается. Деформации выражаются через напряжения по закону Гука, то есть линейным образом, поэтому, когда напряжения равны деформации будут . Пусть параметр получил приращение деформации получают при этом приращения . Действующие на грани силы произведут работу

Проинтегрируем это выражение от до . Получим:

Это и есть потенциальная энергия, накопленная в единице объема. Предполагается, что процесс нагрузки происходит медленно, деформации меняются медленно и, следовательно, в процессе деформаций кинетическая энергия сколь угодно мала.

Заметим, что для вывода формулы (49.1) нет необходимости изменять все напряжения пропорционально одному параметру. Свойство упругости состоит в том, что конечное состояние тела не зависит от порядка приложения сил, поэтому мы выбрали такой порядок, при котором вычисления получаются наиболее простыми. Внесем в формулу (49.1) выражения деформаций через закон Гука (42.1). Получим:

Эта формула дает величину упругой энергии не только в пределах упругости, но и в области пластических деформаций, так как за пределом упругости полная деформация состоит из упругой и пластической частей, причем упругая часть связана с напряжениями по закону Гука.

Уравнения закона Гука (42.1) можно разрешить относительно напряжений и получить из формулы (49.1) выражение потенциальной энергии упругой деформации через .

В настоищем курсе это выражение использовано не будет, мы поэтому его не выписываем.

Применим формулу (49.2) к случаю плоского иаприженного состояния, заданного компонентами тензора наприжений относительно произвольных осей координат. Главные напряжения выражаютси через по формуле (36.7); нужно положить равным нулю. Внося эти выражении в (49.2) и выполняй преобразовании, найдем:

В частности, для чистого сдвига отсюда получаетси:

Формулу (49.4) можно было бы вывести и непосредственно, подсчитывай работу сил, действующих на грани элемента, находящегоси в условиях чистого сдвига.