§ 154. Теорема Кастильяно для линейных упругих систем.

Дополнительная работа, определяемая формулой (151.3):

вычисляется весьма просто для линейных упругих систем.Действительно, по теореме Клапейрона

Таким образом,

Теорема Кастильяно для линейных упругих систем формулируется следующим образом:

Производная от энергии деформации по силе равна перемещению:

(154.1)

Иногда удобно сохранять вариационную формулировку этой теоремы:

(154.2)

Желая применять теорему Кастильяно к тем или иным конкретным задачам, мы должны уметь вычислять потенциальную энергию деформации через внешние силы. Это всегда можно сделать, еслн воспользоваться. формулой (150.2) и выражением удельной энергии а через напряжения. Во многих случаях это бывает удобнее сделать, переводя внутренние силы в категорию внешних и применяя теорему Клапейрона. Дадим сводку формул упругой энергии для основных видов деформации.

1) Растяжение — сжатие. Как мы уже видели,

В общем случае стержневой системы

Суммирование распространяется на все элементы, для которых постоянно выражение под знаком суммы.

2) Кручение. Рассечем стержень двумя бесконечно близкими поперечными сечениями. Приложим к сечениям выделенного элемента два равных и противоположных момента, численно равных . Обобщенное перемещение для такой группы, сил есть угол относительного поворота сечения, то есть По теореме Клапейрона

Полная энергия кручения стержня

3) Изгиб. Поступая так же, как в случае кручения, найдем, что энергия элемента стержня длиной есть

Но

Поэтому

Аналогичным образом можно вычислить энергию касательных напряжений и дополнительных нормальных напряжений для тонкостенных стержней. Мы этого делать здесь не будем.