§ 106. Расчет на прочность при изгибе по допускаемым напряжениям.

При изгибе поперечной нагрузкой в главной плоскости и при отсутствии продольной силы в формуле (103.4) остается один только член:

(106.1)

Из этой формулы видно, что в точках оси х напряжения равны нулю. Поэтому ось х называют нейтральной осью сечения. Геометрическое место нейтральных осей представляет нейтральную поверхность балки.

По одну сторону нейтральной оси напряжения растягивающие, по другую — сжимающие. Желая рассчитать балку на прочность по допускаемым напряжениям, мы должны потребовать, чтобы наибольшее растягивающее напряжение не превышало величины наибольшее сжимающее — величины .

Обозначим через расстояния от центра тяжести сечения до его крайних точек в сжатой и растянутой зонах (рис. 153). В этих точках, как видно из формулы (106.1), напряжения будут наибольшие. Для обеспечения прочности балки необходимо выполнение следующих условий:

Рис. 153.

Наивыгоднейшей формой сечения будет , для которой запас прочности по растягивающим и сжимающим напряжениям одинаков. Для этого нужно, чтобы

Если допускаемое напряжение на растяжение и сжатие одинаково, то расчет ведется по наибольшей абсолютной величине напряжения, а именно:

Величина называется моментом сопротивления изгибу и обозначается . Таким образом, расчетная формула будет следующая:

Иногда вместо в этой формуле пользуются величиной

— допускаемого напряжения при изгибе. Беря больше, чем , учитывают, что достижение предельного состояния в крайнем волокне при изгибе менее опасно, чем в растянутом или сжатом стержне, где предельное состояние достигается одновременно всеми волокнами.

Величина момента сопротивления для важнейших фигур:

а) круг диаметра :

б) труба с наружным диаметром d и внутренним :

в) прямоугольник с высотой А и шириной :

Последняя формула показывает, что при той же площади сечения, то есть при одинаковой затрате материала, прямоугольное сечение следует делать возможно высоким и узким.

Еще более выгодны такие формы сечений, в которых материал разнесен как можно дальше от центральной оси, перпендикулярной плоскости изгиба, например двутавровое или коробчатое сечения (рис. 154).

Рис. 154.

Однако, вставая на этот путь, мы имеем дело уже с тонкостенными стержнями, в которых нужно учитывать касательные напряжения изгиба и кручения, если плоскость приложенной нагрузки не является плоскостью симметрии. Для вычисления нормальных напряжений в тонкостенном стержне применяется та же формула (106.1), но расчет на касательные напряжения убеждает в недопустимости уменьшения толщины стенки. Другая причина, препятствующая применению стержней со слишком тонкими стенками, — это возможность потери устойчивости — местной, связанной с образованием волн, то есть искривления тонкой стенки, или общей, то есть скручивания и изгиба в боковом направлении.