§ 121. Расчет статически неопределимых балок по способу допускаемых нагрузок.

Желая рассчитать статически неопределимую балку по допускаемым напряжениям, мы должны найти лишние неизвестные, как показано в § 120, найти наибольший изгибающий момент и подстайить величину наибольшего момента в условие прочности

Чтобы составить представление о том, как найти разрушающую нагрузку той же балки, обратимся к примеру последнего параграфа и попытаемся проследить, что произойдет с балкой по мере увеличения нагрузки. Наибольший изгибающий момент появляется над средней опорой. Поэтому именно здесь ранее всего будет достигнута пластичность. Постепенно пластическая зона распространяется и в глубину и в ширину (рис. 179, а).

Рис. 179.

С дальнейшим увеличением нагрузки верхняя и нижняя пластические области сомкнутся над опорой, образуется так называемый пластический шарнир, то есть полностью пластическое состояние в соответствующем сечении. Изгибающий момент в сечении, перешедшем в пластическое состояние, был определен в § 108, при дальнейшей деформации он не возрастет.

В то же время с увеличением нагрузки растут изгибающие моменты по всей длине балки и возникают пластические зоны в областях, близких к серединам пролетов (рис. 179, б). Эти пластические зоны распространяются в ширину и глубину до тех пор, пока вблизи середин пролетов не возникнут пластические шарниры. Дальнейшее увеличение нагрузки невозможно, изображенное на рис. 179, в состояние балки с тремя пластическими шарнирами является изменяемым состоянием. Схематически балку с тремя пластическими шарнирами можно представить так, как это изображено на рис. 179, г. Изгибающий момент в каждом из шарниров постоянен, он уже не может возрастать с возрастанием нагрузки. Поэтому всякое увеличение нагрузки остается неуравновешенным.

Проследить весь процесс упруго-пластической деформации балки от упругого состояния до исчерпания несущей способности довольно трудно. С другой стороны, вспоминая результаты § 108, мы видим, что все приведенные выше рассуждения являются схематичными и неточными. Действительно, было показано, что полный переход сечения в пластическое состояние возможен лишь при бесконечно больших деформациях, поэтому, строго говоря, никаких пластических шарниров образоваться не может. Следовательно, определение несущей способности по описанной схеме в значительной мере условно.

Обычный способ расчета по допускаемым нагрузкам заключается в том, что состояние, изображенное на рис. 179, в или схематически на рис. 179, г, считается допустимым. Изгибающие моменты в пластических шарнирах равны . Где нужио взять знак плюс, где минус, всегда легко определить.

Обозначив расстояние от левой опоры до первого пластического шарнира через получим, приравнивая для первого шарнира изгибающий момент предельному моменту :

для второго шарнира:

Исключив отсюда реакцию А, получим:

Таким образом, разрушающая нагрузка q оказалась зависящей от величины , определяющей положение пластического шарнира в пролете. Определить эту величину не так просто, для этого нужно проследить весь процесс перехода от упругого состояния к пластическому. На практике поступают иначе, а именно принимают для то значение, которое соответствует минимуму нагрузки.

Это правило будет строго обосновано в главе XV. Дифференцируя выражение q по и приравнивая производную нулю, получим:

Отсюда

и

Подставив это значение в формулу (121.1), найдем:

При расчете по допускаемым напряжениям для определения предельной нагрузки следует приравнять наибольший момент на средней опоре величине момента, соответствующего появлению текучести в крайнем волокне:

Отсюда

(121.3)

Если балка загружена сосредоточенными силами, эпюра моментов всегда состоит из прямолинейных участков и количество пластических шарниров известно заранее, отыскивать минимум нагрузки не приходится.

В статически определимых системах увеличение допускаемой нагрузки при расчете по способу допускаемых нагрузок получается лишь за счет того, что предельный момент в сечении находится из условия перехода сечения целиком в пластическое состояние. Составляя для статически определимой балки уравнения, аналогичные (121.2) и (121.3), мы получили бы одинаковые числовые множители в правых частях. Вся разница состояла бы в том, что в одной формуле фигурирует , в другой .

Статически неопределимая балка, как оказывается, обладает еще дополнительным резервом прочности. Увеличение допускаемой нагрузки за счет статической неопределимости составляет .