§ 145. Пластическое состояние трубы.

Предположим теперь, что материал трубы следует диаграмме идеальной пластичности. При увеличении внутреннего давления пластическое состояние достигается прежде всего на внутренней поверхности. Рассмотрим для определенности закрытую трубу. На внутренней поверхности при по формулам (144.6) и (144.8) получим:

Отсюда видно, что .

Условие достижения состояния текучести будет следующим:

а) по критерию Треска

б) по критерию Мизеса

Если продолжать увеличивать давление, в трубе образуются две области: внутренняя, где материал находится в пластическом состоянии, и внешняя, упругая. Соответствующую задачу об отыскании упруго-пластического состояния можно решить без особого труда; для оценки прочности это решение нам не понадобится, поэтому мы будем сразу искать предельные значение давления, то есть давление, при котором весь материал переходит в пластическое состояние.

При решении этой задачи можно исходить либо из теории пластичности Сен-Венана, либо из теории пластичности Мизеса. Применим сначала первую теорию. Предположим, что в пластическом состоянии, так же как и в упругом, остаются справедливыми неравенства . Тогда и условие пластичности примет вид:

(145.1)

Но в уравнение равновесия (143.2) входит как раз комбинация . С учетом (145.1) уравнение равновесия принимает вид:

Интегрируем это уравнение. Получаем:

(145.2)

Граничные условия будут следующие: при и при тогда как константа интегрирования лишь одна. Значит, полностью пластическое состояние возможно только при определенном значении . Подставляем граничные условия в (145.2). Получим:

Отсюда после исключения С

(145-3)

Внося значение в (145.2), находим а с помощью условия (145.1) :

(145.4)

Величина осевого напряжения не может быть определена на основе теории пластичности Сен-Венана. Действительно, нужно только, чтобы было и чтобы равнодействующая напряжений по сечению равнялась силе давления на донья, никаких иных условий для определения мы не имеем. Положение, совершенно меняется, если допустить, что, как это имеет место в действительности, наряду с пластическими деформациями существуют упругие. Согласно теории Сен-Венана пластической деформации в направлении главного напряжения не происходит, значит, труба в предельном состоянии имеет упругую осевую деформацию . По закону Гука

Отсюда

как и для упругой трубы (см. (144.1)).

Но напряжения и нужно брать теперь по формулам (145.4). В результате получим:

Как было показано в § 143, осевую деформацию нужно считать постоянной по сечению. Она определится из условия

(145.5)

Выражение для можно представить следующим образом:

Здесь с — неизвестная пока константа, определяемая из уравнения равновесия (145.5). Подставляя в это условие выражение для и выполняя интегрирование, найдем:

Поэтому

(145.6)

Особенно простой результат получается тогда, когда материал несжимаем и, следовательно, . В этом случае

На рис. 224 приведены эпюры распределения напряжений и , построенные по формулам

Рис. 224

Приведенное решение оказалось чрезвычайно простым вследствие того, что в закрытой трубе всегда . В открытой трубе в зависимости от отношения может образоваться несколько зон, в которых различные пары из оказываются наибольшими и наименьшими напряжениями. Соответствующий анализ проделан (Койтер), результаты его более сложны.

Желая решить ту же задачу с помощью теории Мизеса, мы будем считать материал несжимаемым и пренебрежем упругой деформацией.

Предположим, что в трубе осуществляется плоское деформированное состояние, то есть . Применяя формулы (77.4), найдем, что

Внесем это значение в условие пластичности

Получим:

Отсюда

Оказывается, что для плоского деформированного состояния условие пластичности по Мизесу имеет тот же вид, что и по Сен-Венану, только с увеличением в отношении Формулы для напряжений получаются из формул (145.4) заменой на напряжение равно их полусумме:

(145.8)

Здесь

Последняя из формул (145.8) отличается от формулы (145.6) только величиной предела текучести, а так как формула (145.6) получена для закрытой трубы, то найденное по теории Мизеса решение для случая плоской деформации соответствует именно закрытой трубе.

Учет упругой деформации в теории Мизеса встречает значительные трудности, и простые замкнутые выражения для напряжений при этом не получаются. Эта задача может быть решена путем численного интегрирования.