§ 92. Кручение упругих стержией сплошного профиля.

Выполнение теоремы о циркуляции касательного напряжения представляет тот критерий, который позволяет выделить из бесчисленного множества статически возможных напряженных состояний то, которое реализуется в действительности при кручений упругого стержня.

Так, например, легко видеть, что выражения для касательного напряжения и угла закручивания круглого стержня удовлетворяют требованиям теоремы о циркуляции, поэтому найденное для круглого сечения решение является точным. Теория упругости устанавливает дифференциальные уравнения в частных производных, которым удовлетворяют напряжения при кручении стержня произвольного поперечного сечения. Существуют методы решения этих уравнений, позволяющие исследовать вопрос о кручении стержня эллиптической, секториальной, прямоугольной и многих других форм поперечных сечений. Величины, которые нас практически интересуют, — это угол закручивания в зависимости от крутящего момента и наибольшее касательное напряжение. Для всех случаев, как рассмотренных нами элементарно, так и изученных методами теории упругости, результаты можно представить в следующей форме:

где С — так называемая геометрическая жесткость;

— момент сопротивления при кручении.

Для круглого стержня диаметра

Для полого цилиндра с наружным диаметром d и внутренним

Для тонкостенного стержня замкнутого профиля

Для тонкостенного стержня открытого профиля

Большую практическую важность представляет вопрос о кручении прямоугольного стержня. Рассмотрение этой задачи элементарными средствами невозможно, методы теории упругости позволяют получить выражения для напряжения и углов закручивания в виде бесконечных рядов. Наибольшее напряжение , как оказывается, получается в серединах длинных сторон ( на рис. 130). В углах напряжения равны нулю, в серединах коротких сторон () отмечается второй максимум напряжения, однако напряжения в этих точках меньше, чем напряжения в точках .

Рис. 130.

Такая качественная картина становится понятной, если обратиться к гидродинамической аналогии, то есть представить себе цилиндрический сосуд прямоугольной формы, в котором циркулирует жидкость. Очевидно, что в углах скорость будет равна нулю. Через сечение ОА в единицу времени протекает то же количество жидкости, что и через сечениг ОВ, а так как ОА меньше, чем ОВ, то средние скорости на отрезке ОА больше, чем на ОВ. Поэтому естественно считать и максимальную скорость в точке А большей, чем в точке В. Это, конечно, не доказательство, а довольно правдоподобное рассуждение, основанное на интуиции. Точное представление о характере распределения напряжений можно составить, только имея точное решение задачи теории упругости или данные эксперимента. Последние в части распределения напряжения носят всегда косвенный характер, так как методы непосредственного измерения напряжений отсутствуют. Результаты точного решения можно представить следующим образом:

Здесь а — длинная сторона, — короткая сторона прямоугольника. Наконец, напряжение в середине короткой стороны связано с максимальным напряжением соотношением

Безразмерные коэффициенты зависят только от одного безразмерного параметра, характеризующего сечение, а именно от отношения Выражения коэффициентов в функции параметра не могут быть написаны в конечном виде; они даются бесконечными рядами, приводить которые здесь нет нужды.

Эти коэффициенты вычислены для различных значений и даются в следующей таблице:

Если при расчете встретится какое-либо промежуточное значение отношения то следует прибегнуть к интерполированию.

Остановимся на последнем столбце этой таблицы. Полагая отношение равным бесконечности, мы считаем ширину сечения весьма малой по сравнению с его длиной. Но как раз в этих предположениях строится теория тонкостенных стержней открытого профиля. Значит, формулы (92.4) применимы и в нашем случае. Но они совпадают с (92.5) при . Значение при получить элементарно не удается.