§ 138. Критические силы при иных видах закрепления стержня.

Сравнение точного решения с приближенным убедило нас в том, что вопрос о критических силах в линейной постановке решается правильно. При этом реальный смысл, конечно, имеет только первая критическая сила. Итак, для стержня с шарнирно закрепленными концами

(138.1)

При потере устойчивости на длине стержня укладывается одна полуволна синусоиды.

На практике встречаются иные способы закрепления концов. Так, если стержень жестко защемлен на одном конце, а другой конец оставлен свободным, то задачу можно привести к предыдущей, как показано на рис. 210.

Рис. 210.

Подставляя в формулу (138.1) вместо получим:

На длине стержня укладывается половина полуволны синусоиды.

Этими двумя примерами исчерпываются статически определенные задачи об определении критических сил. В качестве примера задачи статически неопределенной рассмотрим следующую. Один конец стержня жестко заделан, другой закреплен шарнирно.

При искривлении стержня в шарнире возникает реакция R, поэтому дифференциальное уравнение изгиба принимает вид:

(см. рис. 211). Это неоднородное уравнение продольно-поперечного изгиба, полученное нами в главе X. Перепишем его так:

Рис. 211.

Интеграл этого уравнения

(138.3)

Прогиб v линейно зависит от трех постоянных: . В то же время прогиб удовлетворяет трем граничным условиям:

Граничные условия однородны, то есть не содержат свободного члена. Поэтому, подставляя (138.3) в граничные условия, мы получим систему однородных уравнений для трех постоянных . А эта система имеет нетривиальное решение тогда, когда определитель ее равен нулю. Это и есть условие для нахождения критической силы. Составим эти уравнения:

Исключая постоянные получим:

Наименьший корень этого уравнения

Критическая сила

Приводя ее к тому же виду, что формулы (138.1) и (138.2), иайдем:

Случай стержия, жестко заделанного на двух концах, решается совершенно так же, нужно только ввести в рассмотрение кроме реакции еще концевой момент. Тот же результат можно получить гораздо проще, если заметить (рис. 212), что упругая линия такого стержня может быть составлена из четырех половинок полуволны синусоиды.

Рис. 212.

Поэтому

Объединяя все эти формулы, примем

Здесь — коэффициент приведения длины.