§ 177. Колебания балок постоянного сечения.
Если жесткость постоянна, то уравнение (176.2) принимает следующий вид:
Для сокращения записи положим 
. Тогда
(177.1)
Корни характеристического уравнения будут 
поэтому общий интеграл уравнения (177.1) имеет вид:
(177.2)
В § 123 мы видели, какие преимущества дает использование частных решений с единичной матрицей начальных значений (А. Н. Крылов). Эти решения строятся с помощью общего интеграла (177.2):
Легко убедиться в том, что производная по х каждой из последующих функций 
равна предыдущей функции 
причем функции нужно расположить в круговом порядке так, что за функцией 
следует функция 
Итак, общий интеграл уравнения (177.2) мы будем записывать следующим образом:
(177.3)
Рассмотрим теперь несколько примеров.
а) Балка, лежащая на двух опорах. На каждой опоре равны нулю прогиб и изгибающий момент: 
. Из граничного условия на левом конце при 
сразу следует, что 
.
Действительно, при 
все функции 
равны нулю, кроме 
, равной единице. Но при двукратном дифференцировании функция 
переходит в 
, следовательно, коэффициенты при 
должны обращаться в нуль. Используя остальные граничные условия, мы получим:
Теперь повторяется обычное рассуждение. Если определитель системы отличен от нуля, то 
следовательно, никаких колебаний не происходит. Если определитель равен нулю, а должно иметь совершенно определенное значение, а зная а, мы находим собственную частоту системы. Условие равенства нулю определителя будет следующим:
Отсюда
и либо 
либо 
. Первый случай исключается, так как гиперболический синус не имеет действительных нулей, кроме как в начале координат. Остается вторая возможность:
Вспоминая, что такое а, находим собственные частоты:
Следует заметить, что собственные частоты растут пропорционально квадрату номера, а не первой его степени, как это было в случае продольных колебаний.
В случае балки, лежащей на двух опорах, использование общего интеграла уравнения колебаний в форме (177.3) не очень оправдано; если обратиться к формуле (177.2), то видно, что граничным условиям задачи удовлетворяет последний член решения, если принять 
. Соответствующая главная форма:
Множитель перед синусом выбран так, чтобы было возможно условие нормирования.
б) Балка с одним заделанным и другим свободным концом. Помещая начало координат в заделке, получаем следующие граничные условия:
(в заделке равны нулю прогиб и угол наклона, на свободном конце 
изгибающий момент и перерезывающая сила).
Из условий в заделке следует, что 
из условий на свободном конце:
Уравнение частот: 
или
Приводим шесть первых корней этого уравнения:
в) Балка с двумя свободными концами 
. Граничные условия: 
. Из двух первых граничных условий следует 
. Из двух других:
Уравнение частот:
или
Первые корни этого уравнения:
