§ 94. Предельное состояние закрученного стержня из идеально-пластического материала.

Если стержень изготовлен из идеальнопластического материала, в предельном состоянии касательные напряжения во всех точках сечения равны по величине и меняются только по направлению. Рассмотрим две бесконечно близкие траектории касательных напряжений на рис. 133. Если вырезать из стержня объем, заключенный между двумя цилиндрами с основаниями и образующими, параллельными оси стержня, мы получим тонкостенный стержень замкнутого профиля, боковая поверхность которого свободна от напряжений. Формула (90.1) была получена только при помощи условий статики, и следовательно, она верна как для упругого состояния, так и для пластического. Применим ее к рассматриваемому тонкостенному стержню; понимая под расстояние между линиями , получим:

Отсюда

Рис. 133.

Таким образом, траектории касательных напряжений в предельном состоянии стержня из идеально-пластического материала являются эквидистантными кривыми. Для построения их следует отправляться от контура. Построим семейство прямых, нормальных к контуру, и будем откладывать на этих прямых, начиная от точки контура, отрезки равной длины.

Соединяя концы этих отрезков, будем получать траектории касательных напряжений. В случае круга, например, траекториями касательных напряжений являются концентрические круги, что и заранее очевидно.

В случае многоугольного сечения вдоль каждой стороны многоугольника траектории касательного напряжения будут прямыми, параллельными соответствующей стороне. Эти прямые делают излом на биссектрисе угла (рис. 134), только при этом условии расстояние траектории от многоугольного контура будет постоянным. На биссектрисе вектор касательного напряжения поворачивается. В стержне квадратного поперечного сечения (рис. 135) траектории будут также квадратами, диагонали разбивают квадрат на четыре треугольника, в каждом из которых вектор касательного напряжения имеет постоянное направление. Для прямоугольного сечения (рис. 136) траектории являются все более и более вытянутыми прямоугольниками, приближающимися к отрезку между точками пересечения биссектрис углов контура сечения.

Рис. 134.

Рис. 135.

Рис. 136.

Отрезок представляет собою линию разрыва напряжения, касательные напряжения с двух сторон этого отрезка равны по величине, но противоположны по направлению.

Осталось вычислить крутящий момент в предельном состоянии. Бесконечно близкие линии тока разбивают весь стержень на бесконечно большое число тонкостенных стержней, для каждого из которых крутящий момент найдется по формуле § 90:

Здесь F — площадь, заключенная внутри контура Г.

Просуммируем эти моменты. Для этого построим поверхность, образованную прямыми, проходящими через контур поперечного сечения и составляющими с его плоскостью одинаковый угол, тангенс которого равен Такая поверхность постоянного ската в случае кругового сечения будет конусом, в случае прямоугольника будет состоять из четырех плоскостей, образующих подобие крыши. Назовем эту поверхность Поверхностью напряжений.

Теперь траектории касательных напряжений можно получить следующим образом: будем рассекать поверхность напряжений плоскостями, параллельными плоскости сечения, и проектировать линии пересечения на эту плоскость. Если условно считать плоскость сечения горизонтальной, то траекториям соответствуют горизонтальные сечения поверхности напряжений, находящиеся одно от другого на расстоянии так как есть расстояние между линиями , а — тангенс угла наклона поверхности напряжений.

Рис. 137.

Объем, заключенный между этой поверхностью и горизонтальными сечениями, равен а сумма таких объемов представляет собою объем V, ограниченный площадью сечения и поверхностью напряжений. Таким образом,

В случае кругового сечения V есть объем конуса с радиусом основания и высотой следовательно, , что совпадает с формулой (88.3). Для прямоугольника со сторонами дело сводится к определению объема тела, изображенного на рис. 137, причем . В результате получаем: