§ 151. Теоремы Лагранжа и Кастильяно.
Формула (150.2) показывает, что упругая энергия деформации, так же как энергия пластического формоизменения, получающаяся, если определять о формулой (150.4), однозначно определяется заданием деформации. А так как деформированное состояние в свою очередь определяется однозначно заданием внешних сил Р, то W может рассматриваться как функция этих сил или перемещений точек их приложения. Итак, пусть на тело действуют обобщенные силы 
соответствующие обобщенные перемещения суть их, 
. Тогда можно считать, что
Сообщим обобщенным координатам 
произвольные изменения 
. Элементарная работа внешних сил при этом равна
Считая W представленной через обобщенные перемещения, для вариации W будем иметь следующее выражение:
Уравнение (150.1) приводится к следующему:
Вследствие произвольности вариаций 
отсюда следует:
Производная энергии деформации по перемещению равна силе. Это теорема Лагранжа, наиболее общая теорема механики деформируемого тела.
В качестве примера рассмотрим задачу, решенную в § 32 (см. рис. 42). Энергия деформации стержня при растяжении по формуле (28.4)
В рассматриваемом случае
Следовательно, полная энергия растяжения двух стержней
По теореме Лагранжа
Отсюда
что совпадает с формулой (32.3).
Мы специально выбрали такой пример, в котором зависимость между силой и перемещением нелинейна, чтобы подчеркнуть общность метода.
Представим себе теперь, что потенциальная энергия деформации выражена через внешние силы:
Образуем функцию
(151.3)
Варьируем функцию Ф. Получим:
Но вследствие теоремы Лагранжа
Поэтому
(151.4)
Предположим далее, что функция 
выражена только через внешние силы:
Тогда
Заменяя этим выражением для 
левую часть формулы (151.4) и замечая, что вариации произвольны, получим;
(151.5)
Эта формула выражает теорему Кастильяно.
Функция Ф называется дополнительной работой. Согласно уравнению (151.5) перемещение равно производной от дополнительной работы по силе. Термин «дополнительная работа» легко понять, если обратиться к рис. 230. При нелинейной зависимости между 
Рис. 230.
Таким образом, W равна площади заштрихованной фигуры. Дополнительная работа Ф представляет собою площадь, дополняющую W до прямоугольника.
