§ 54. Большие прогибы мембраны.

Мембраной называется тонкая пластинка, в которой напряжения можно считать распределенными по толщине равномерно. Рассмотрим задачу о равновесии круглой мембраны, нагруженной равномерным давлением. Приближенное решение, результаты которого оказываются весьма мало отличающимися от точного, будет основано на предположений о том, что поверхность мембраны после деформации становится сферической. Радиус кривизны сферы q, стрела прогиба и половина центрального угла меридионального сечения поверхности мембраны связаны очевидными соотношениями (рис. 59):

Напряжения равны между собой. Обозначая их общую величину через , получим из уравнения (52.3):

Относительное удлинение представляет собою разность между длиной дуги и длиной хорды, поделенную на длину хорды:

В упругой области связаны между собою законом Гука:

Поэтому

Отсюда находим:

Стрела прогиба

Зависимость между силой и прогибом получается нелинейной, так же как в задаче § 32. Сравнение этих двух задач показывает, что и методы решения здесь по существу одинаковы.

Рис. 59.

В пластической области мы имеем условие

или

Поэтому из уравнения (54.1)

или

Следует отметить, что для идеальной пластичности задача является статически определенной. Действительно, соотношение (54.5) получено только из условия статики вместе с условием пластичности.

Когда прогибы мембраны, а следовательно и деформации, велики, формула (54.5) перестает быть верной, так как деформация сопровождается уменьшением толщины мембраны, а это при выводе не учитывалось. Обозначая по-прежнему толщину через , мы будем обозначать начальную толщину 60. Объем материала мембраны равен площади поверхности шарового сегмента, умноженной на толщину. Площадь поверхности выражается следующим образом:

Условие постоянства объема дает:

Отсюда

Радиус кривизны связан с радиусом мембраны а и стрелой прогиба следующим соотношением:

Из уравнения (54.1) следует:

Полагая здесь и выражая по формулам (54,6) и (54.7), найдем:

Представим теперь результаты в безразмерной форме. Положим:

Формула (54.8) примет следующий вид:

При малых приближенно можно считать что совпадает с формулой (54.8).

Рис. 60.

В упругой области формула (54.3) приводит к следующей зависимости:

Начальный участок графика зависимости между представлен на рис. 60 отдельно в большом масштабе, кубическая парабола пересекает прямую (54.5) при .

Более точная для области пластических деформаций формула (54.9) показывает, что нагрузка q не может превышать величину мы убеждаемся в этом, отыскивая максимум правой части в формуле (54.9). При достижении нагрузкой этой величины мембрана прорывается.