§ 31. Концентрации напряжений.

Как мы видели, расчет стержней переменного сечения, если изменение сечеиия достаточно плавно, производится принципиально так же, как расчет стержней постоянного сечения. Предполагается, что в поперечных сечениях существуют только нормальные напряжения и распределены они равномерно. Предполагается также, что продольные сечения, параллельные оси стержня, свободны от напряжений.

При этом для нормального напряжения сохраняет силу обычная формула

Мы пользовались этой формулой, например, при нахождении формы бруса равного сопротивления.

В тех случаях, когда сечение стержня меняется резко (около отверстий, выкружек, выточек, галтелей и т. п.) (рис. 40), сделанные предположения становятся неверными и картина напряженного состояния получается гораздо более сложной, чем при простом растяжении.

Рис. 40.

Обратимся, например, к случаю, изображенному на рис. 40, в. Растяжение материала в выточке связано с его поперечным сокращением по закону Гука для поперечной деформации. Однако наличие примыкающих утолщенных частей стержня сдерживает эту поперечную деформацию, препятствует ей. Таким образом, простое растяжение стержня в выточке невозможно. Обращаясь к рис. 40, а, рассмотрим равновесие элемента примыкающего к отверстию. Площадка принадлежит поперечному сечению. Если бы в поперечном сечении действовали только нормальные напряжения, то равновесие не было бы возможно. Действительно, эти напряжения уравновешиваются напряжениями на площадке а им по закону парности соответствуют такие же касательные напряжения на площадке .

Отступление от распределения напряжений, соответствующего простому растяжению, вблизи мест резкого изменения поперечного сечения называется концентрацией напряжений.

Эффект концентрации напряжений заключается в следующем:

1) нормальные напряжения в поперечных сечениях распределяются неравномерно; около отверстия, выкружки или галтели нормальные напряжения достигают весьма большой величины;

2) напряженное состояние становится не одноосным, а пространственным, в поперечных сечениях возникают касательные напряжения; нормальные и касательные напряжения возникают также в сечениях, параллельных оси.

Чтобы определить закон распределения напряжений в условиях концентрации, пользуются или методами теории упругости, или же так называемым оптическим методом, позволяющим экспериментально измерить напряжение на модели плоского изделия, изготовленной из прозрачного материала. Нужно отметить, что точных решений задачи о концентрации напряжений известно не так много. Обычно в результате теоретического или экспериментального исследования находят коэффициент концентрации, то есть число, указывающее, сколько раз нужно увеличить номинальное напряжение:

чтобы получить величину наибольшего напряжения в сечении:

Таблицы и трафики для определения коэффициентов концентрации обычно приводятся в справочной литературе.

Рис. 41.

Так, например, для полосы шириной с отверстием диаметром d (рис. 41, а) коэффициент концентрации в зависимости от отношения имеет следующие значения:

Случай соответствует отверстию в полосе бесконечно большой ширины. Здесь теоретическое решение сравнительно просто (Кирш, 1898). Для полосы конечной ширины решение становится весьма сложным, и цифры, приведенные в таблице, получены экспериментально, с помощью оптического метода.

Нужно сказать, что знания коэффициента концентрации еще недостаточно для расчета детали на прочность. Изображенное на рис. 41, а распределение нормальных напряжений относится к чисто упругой стадии работы конструкции.

Разрушению же, как правило, предшествует появление пластических деформаций. Как мы увидим далее, при переменных нагрузках разрушение может происходить и в упругой области, однако для суждения о прочности далеко не достаточно знания одного только нормального напряжения в поперечном сечении, нужно знать все напряженное состояние в целом. Поэтому было бы неправильно принять за расчетное напряжение ; вопрос о расчете на прочность с учетом концентрации требует более подробного исследования и будет нами рассмотрен в главе XVII.

Для пластических материалов вопрос о прочности в условиях концентрации напряжений также далеко не прост. Если разрушению предшествует значительная пластическая деформация в тех местах, где напряжения по расчету особенно велики, то материал перейдет в пластическое состояние, образуются пластические зоны. Напряженное состояние будет пространственным, сложным; для его изучения нужно решать пространственную задачу теории пластичности, что удается лишь в немногих случаях. Экспериментальные методы определения напряжений в пластической области весьма сложны, и соответствующие измерения крайне немногочисленны. Таким образом, первая трудность состоит в нахождении величин напряжений при переходе за предел упругости. Вторая трудность заключается в установлении критерия прочности при сложном пластическом напряженном состоянии. Мы вернемся к этим вопросам в главе XVII, предварительно рассмотрев общую теорию напряженного состояния и общие законы пластичности, а пока ограничимся грубой трактовкой вопроса на базе элементарных представлений.

Пренебрежем касательными напряжениями, напряжениями в плоскостях, параллельных оси стержня, и будем считать напряженное состояние одноосным. Если в каждой точке сечения действуют лишь нормальные напряжения, то пластическое состояние наступает тогда, когда, это напряжение становится равным пределу текучести от. При идеальной пластичности напряжение не может сделаться больше чем от, поэтому дальнейший рост силы сопровождается увеличением напряжений в части сечения, оставшейся упругой, а также ростом пластических зон, в которых напряжение постоянно и равно от. Эпюры распределения напряжений по сечению, соответствующие постепенно возрастающим значениям силы, представлены на рис. 41.

На рис. 41, а изображено упругое распределение напряжений, на рис. 41, б и 41, в — упруго-пластическое с разными степенями развития пластической зоны. Наконец, на рис. 41, г представлено распределение напряжений в тот момент, когда все сечение перешло в пластическое состояние. Соответствующая сила является разрушающей, величина ее:

Здесь F — площадь ослабленного сечеиия.

Применяя принцип расчета по допускаемым нагрузкам, составим условие прочности следующим образом:

Но следовательно,

Это обычная формула расчета на прочность, концентрация напряжений в ней не отражена. Таким образом, при расчете на прочность стержней из пластического материала, находящихся под действием статических нагрузок, концентрацию напряжений во внимание не принимают.