§ 10. Простейшие типы напряженного состояния.

Не задаваясь целью дать общее изложение механики сплошной среды, мы не будем развивать общей теории напряженного состояния, как это делается обычно в курсах теории упругости и теории пластичности, хотя почти все элементы этой теории будут в дальнейшем сообщены.

Для уяснения принципов, а также для решения важнейших задач нам будет достаточно отправляться от простейших типов напряженных состояний, переходя от них к более сложным.

Заметим, прежде всего, что вектор напряжений естественно разложить на две составляющие: направленную по нормали к площадке, на которой действует напряжение, и лежащую в этой площадке. Назовем первую составляющую нормальным напряжением, вторую — касательным. Их скалярные величины обозначаются соответственно .

Если нормальное напряжение направлено по внешней нормали к поверхности выделенной части тела, то его считают положительным и называют растягивающим напряжением; если по внутренней — его считают отрицательным и называют сжимающим. При первоначальном рассмотрении типичных видов напряженных состояний бывает, удобно ввести понятие об однородном напряженном состоянии, то есть не меняющемся от точки к точке. Для однородного напряженного состояния независимо от величины площадки и ее ориентации, поэтому операция предельного перехода для отыскания напряжений оказывается излишней.

Представим себе призматическое тело, к основаниям которого приложены нормальные усилия, равномерно распределенные по площади оснований с интенсивностью а на единицу площади (рис. 11). Тогда в любом плоском сечении, перпендикулярном оси призмы, напряжения будут направлены по нормали и постоянны во всех точках сечения. Такое напряженное состояние называется чистым растяжением.

Рис. 11.

В качестве второго примера рассмотрим прямоугольный параллелепипед с измерениями (рис. 12).

Рис. 12.

Предположим, что на верхнюю грань действуют равномерно распределенные касательные усилия, параллельные ребру а, интенсивность которых на единицу площади есть . Для того чтобы главный вектор системы внешних сил был равен нулю, к нижией грани должны быть приложены противоположно направленные силы той же интенсивности. Усилия, действующие на горизонтальные грани, каждое из которых статически эквивалентно силе составляют пару с плечом с. Момент этой пары есть .

Чтобы уравновесить его, приложим к грани вертикальные равномерно распределенные касательные усилия и к противоположной грани — противоположно направленные касательные усилия. Они приводятся к паре . Из условий равновесия получаем:

Это соотношение называют законом парности касательных напряжений. Более точная его формулировка будет следующей: составляющие касательного напряжения на двух взаимно перпендикулярных площадках, перпендикулярные линии их пересечения, равны между собой.

В любом плоском сечении, параллельном одной из граней или будут действовать постоянные касательные напряжения . Такое напряженное состояние называется чистым сдвигом. Как чистое растяжение, так и чистый сдвиг реализовать довольно трудно, в особенности это относится к чистому сдвигу; однако напряженные состояния, изображенные на рис. 11 и 12, представляют собою основные элементы, из которых строятся напряженные состояния самого сложного характера.