§ 97. Преобразование статических моментов и моментов инерции при параллельном переносе осей.

Предположим, что нам известны статические моменты и моменты инерции относительно осей . Требуется определить те же величины для осей параллельных данным. Обозначим через а и b абсциссу и ординату точки О, то есть координаты старого начала, относительно новых осей. Тогда

Величины

даны. По определению

Таким образом,

Осевой момент инерции относительно оси

Все интегралы в правой части известны, поэтому

и аналогично

Наконец, найдем центробежный момент для новых осей:

Раскрывая скобки и разбивая интеграл на четыре интеграла, получим:

Обычно бывают заданы величины моментов инерции фигуры относительно осей, проходящих через центр тяжести. Будем называть такие оси центральными и обозначать их . Итак, считаем заданными . Теперь можно опустить штрихи в обозначениях новых осей и вместо а, b ввести обозначения координаты центра тяжести. Для центральных осей статические моменты равны нулю, и формулы преобразования моментов инерции приобретают простой вид: