ГЛАВА IX. НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ ИЗГИБЕ

§ 101. Действие поперечных сил на балку.

Рассмотрим стержень, находящийся под действием приложенных к нему поперечных, то есть перпендикулярных его оси, нагрузок. Так как действие системы сил можно рассматривать как результат приложения этих сил поодиночке, то для качественного рассмотрения вопроса мы предположим, что на конце стержня приложена одна едннственная сосредоточенная сила Р, а другой конец защемлен неподвижно (рис. 146). Предположим, что сечение стержня есть выпуклая фигура, оба измерения которой имеют одинаковый порядок длина стержня есть . Очевидно, что если стержень сломается, то это произойдет по сечению, близкому к заделке. Это сечение является наиболее нагруженным, говорят, «опасным».

Выясним, какие напряжения возникнут в опасном сечении.

Прежде всего, сила Р стремится срезать балку. Употребляя такое неточное выражение, мы подразумеваем, что для уравновешения силы Р в сечении необходимо приложить касательные, «срезывающие» напряжения , направленные вверх (не обязательно параллельно силе, может быть, так, как показано на рис. 146 отдельно). Эти напряжения, закон распределения которых по сечению неизвестен, назовем касательными напряжениями изгиба.

Рис. 146.

Далее, сила Р, вообще говоря, вызывает кручение балки. Если сечение стержня имеет плоскость симметрии, то, очевидно, напряжения кручения не возникнут в том случае, когда сила Р лежит в этой плоскости. Если сила параллельна этой плоскости, то крутящий момент равен произведению ее величины на расстояние от плоскости симметрии. Для несимметричного профиля всегда существует точка, называемая центром изгиба и обладающая тем свойством, что кручение не возникает, если лнння действия силы проходит через эту точку.

Вопрос о ее нахождении пока оставляем открытым.

Напряжения кручения в том случае, когда они существуют, обозначим через Если центр изгиба известен, то их определяют по формулам главы VII.

Наконец, для того чтобы уравновесить момент снлы относительно оси, лежащей в плоскости сечения, необходимо рассмотреть в сеченни нормальные напряжения о. Так как силы, направленные по оси стержня, отсутствуют, в сечении должны быть и растягивающие, и сжимающие напряжения, причем в верхней части они будут растягивающими, в нижней — сжимающими.

Дадим грубую оценку величин напряжений .

Для оценки предположим, что сечение есть квадрат со стороной b и напряжения распределены равномерно. Тогда

На самом деле напряжения распределены по сечению неравномерно, да и сечение не обязательно является квадратом, это может быть прямоугольник, круг или иная фугура. Поэтому полученная формула неверна. Однако, если определять точно максимальное значение , результат будет отличаться от полученного лишь числовым множителем, никаких иных размерных величин в формулу не войдет. Будем говорить, что касательное напряжение имеет порядок

Крутящий момент представляет собою произведение силы на расстояние ее линии действия от центра изгиба. Последнее имеет порядок размера . Момент сопротивления при кручении, как мы виделн в § 92, есть величина, отличающаяся от числовым множителем. Поэтому

Перейдем к оценке нормальных напряжений. Составляя уравнение моментов относительно горизонтальной оси, проведенной в изучаемом сечении, найдем, что момент внешней силы есть . Момент внутренних сил в сечении зависит только от и размеров сечения, то есть величины . Соображения размерности убеждают нас в том, порядок величины этого момента есть Поэтому

Если длина балки велика по сравнению с поперечным равмером то касательные напряжения малы по сравнению с нормальным .

Это нужно понимать в том смысле, что при увеличении длины балки с сохранением ее поперечного сечения касательные напряжения остаются неизменными, а нормальные возрастают пропорционально длине. Таким образом, всегда можно подобрать настолько большое отношение чтобы максимальные касательные напряжения составляли сколь угодно малую долю от наибольших нормальных. В теории изгиба отношение длины к поперечным размерам принимается достаточно большим и нормальные напряжения считаются наиболее важными. Положение меняется в случае тонкостенных стержней, когда поперечное сечение не определяется одним только характерным размером b (см. гл. XI).